与えられた命題「$x + y > a$ ならば「$x > a - b$ または $y > b$」」を、対偶を利用して証明する。ここで、$x$, $y$, $a$, $b$ は全て実数である。

1. 問題の内容

与えられた命題「$x + y > a$ ならば「$x > a - b$ または $y > b$」」を、対偶を利用して証明する。ここで、$x$, $y$, $a$, $b$ は全て実数である。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題の対偶を作る。

命題「$P$ ならば $Q$」の対偶は「$\overline{Q}$ ならば $\overline{P}$」である。

ここで、$P$は「$x+y > a$」、そして$Q$は「$x > a - b$ または $y > b$」である。

$\overline{P}$は「$x + y \le a$」である。

$\overline{Q}$は「$x \le a - b$ かつ $y \le b$」である。（「または」の否定は「かつ」である。）

したがって、与えられた命題の対偶は「$x \le a - b$ かつ $y \le b$ ならば $x + y \le a$」となる。

この対偶を証明する。

$x \le a - b$ かつ $y \le b$ が成り立つと仮定する。

このとき、

$x + y \le (a - b) + b$

$x + y \le a$

したがって、$x \le a - b$ かつ $y \le b$ ならば $x + y \le a$ が成り立つ。

対偶が真であるから、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

$x + y > a$ ならば「$x > a - b$ または $y > b$」