$x = 4 + \sqrt{7}$ , $y = 4 - \sqrt{7}$ のとき、 (1) $xy - 4x$ (2) $x^2 - y^2$ それぞれの式の値を求める。

1. 問題の内容

$x = 4 + \sqrt{7}$ , $y = 4 - \sqrt{7}$ のとき、

(1) $xy - 4x$

(2) $x^2 - y^2$

それぞれの式の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $xy - 4x$

$x$ で括ると、$x(y - 4)$ となる。

$x = 4 + \sqrt{7}$, $y = 4 - \sqrt{7}$ を代入する。

$x(y - 4) = (4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7} - 4) = (4 + \sqrt{7})(-\sqrt{7})$

$= -4\sqrt{7} - (\sqrt{7})^2 = -4\sqrt{7} - 7$

(2) $x^2 - y^2$

因数分解すると、$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ となる。

$x = 4 + \sqrt{7}$, $y = 4 - \sqrt{7}$ を代入する。

$x+y = (4 + \sqrt{7}) + (4 - \sqrt{7}) = 8$

$x-y = (4 + \sqrt{7}) - (4 - \sqrt{7}) = 2\sqrt{7}$

したがって、$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 8(2\sqrt{7}) = 16\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $xy - 4x = -7 - 4\sqrt{7}$

(2) $x^2 - y^2 = 16\sqrt{7}$