ある中学校の昨年度の生徒数は、男子が女子より10人少なかった。今年度は、男子は昨年度より5%増加し、女子は4%減少した結果、男子が女子より3人多くなった。昨年度の男子の生徒数を $x$ 人、女子の生徒数を $y$ 人として、以下の問いに答える。 (1) 連立方程式を作れ。 (2) 昨年度の男子と女子の生徒数をそれぞれ求めよ。

## 問題3

1. **問題の内容**

ある中学校の昨年度の生徒数は、男子が女子より10人少なかった。今年度は、男子は昨年度より5%増加し、女子は4%減少した結果、男子が女子より3人多くなった。昨年度の男子の生徒数を $x$ 人、女子の生徒数を $y$ 人として、以下の問いに答える。

(1) 連立方程式を作れ。

(2) 昨年度の男子と女子の生徒数をそれぞれ求めよ。

2. **解き方の手順**

(1) 昨年度の生徒数に関する条件より、以下の式が得られる。

$x = y - 10$

今年度の生徒数に関する条件より、以下の式が得られる。

$1.05x = 0.96y + 3$

これらを連立方程式としてまとめる。

(2) (1)で求めた連立方程式を解く。まず、一つ目の式を二つ目の式に代入する。

$1.05(y - 10) = 0.96y + 3$

これを解くと、

$1.05y - 10.5 = 0.96y + 3$

$0.09y = 13.5$

$y = 150$

次に、$x = y - 10$ に $y = 150$ を代入する。

$x = 150 - 10 = 140$

したがって、昨年度の男子生徒数は140人、女子生徒数は150人である。

3. **最終的な答え**

(1)

$\begin{cases}

x = y - 10 \\

1.05x = 0.96y + 3

\end{cases}$

(2) 男子: 140人、女子: 150人

## 問題4

1. **問題の内容**

ハンバーグとシチューを作るための材料の分量（たまねぎと肉）が与えられている。Cさんがこの分量に従ってハンバーグとシチューを作ったところ、たまねぎを210g、肉を490g使用した。ハンバーグを $x$ 人分、シチューを $y$ 人分として、連立方程式を作り、それぞれの人数を求めよ。

| メニュー | たまねぎ (g) | 肉 (g) |

| :--------- | :----------- | :----- |

| ハンバーグ | 20 | 80 |

| シチュー | 30 | 50 |

2. **解き方の手順**

たまねぎの使用量に関する式：

$20x + 30y = 210$

肉の使用量に関する式：

$80x + 50y = 490$

これらを連立方程式として解く。まず、上の式を2倍し、下の式から引く。

$160x+100y =420$

$80x + 50y = 490$

下の式を2倍する。

$160x+100y = 980$

上の式から引く

$0x +0y = -560$

これは解けない

最初の式を簡単にする

$20x + 30y = 210$

$2x+3y=21$

二番目の式を簡単にする

$80x+50y=490$

$8x+5y = 49$

$2x+3y=21$を4倍する

$8x+12y=84$

$8x+12y=84$から$8x+5y=49$を引く

$7y = 35$

$y=5$

$2x+3y=21$に$y=5$を代入する

$2x +15 = 21$

$2x = 6$

$x = 3$

3. **最終的な答え**

式:

$\begin{cases}

20x + 30y = 210 \\

80x + 50y = 490

\end{cases}$

ハンバーグ: 3人分

シチュー: 5人分

## 問題5

1. **問題の内容**

ある人が家からA停留所まで歩き、そこで4分間待ち、バスに乗ってB停留所まで行った。B停留所に到着したのは家を出てから10分後であった。帰りはバスに乗らず、同じ道を逆にB停留所から家まで歩いたところ28分かかった。歩きは分速60m、バスは時速30kmとする。家からA停留所までの距離を $x$ m、A停留所からB停留所までの距離を $y$ mとする。

(1) $x$、$y$ の連立方程式を作れ。

(2) A停留所からB停留所までの距離を求めよ。

2. **解き方の手順**

(1) 行きにかかった時間に関する式：

家からA停留所まで歩く時間：$x/60$ 分

A停留所で待つ時間：4分

A停留所からB停留所までバスに乗る時間：$y/(30 \times 1000 / 60) = y/500$ 分

合計時間：10分

したがって、

$x/60 + 4 + y/500 = 10$

帰りに歩いた時間に関する式：

B停留所からA停留所まで歩く時間：$y/60$ 分

A停留所から家まで歩く時間：$x/60$ 分

合計時間：28分

したがって、

$x/60 + y/60 = 28$

これらを連立方程式としてまとめる。

(2) (1)で求めた連立方程式を解く。まず、一つ目の式を整理する。

$x/60 + y/500 = 6$

$500x + 60y = 6 \times 60 \times 500 = 180000$

二つ目の式を整理する。

$x/60 + y/60 = 28$

$x + y = 28 \times 60 = 1680$

$x = 1680 - y$

これを $500x + 60y = 180000$ に代入する。

$500(1680 - y) + 60y = 180000$

$840000 - 500y + 60y = 180000$

$-440y = -660000$

$y = 1500$

3. **最終的な答え**

(1)

$\begin{cases}

x/60 + 4 + y/500 = 10 \\

x/60 + y/60 = 28

\end{cases}$

(2) 1500 m