$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)^2$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)^2$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(2k+1)^2$を展開します。

$(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$

次に、$\sum$ の性質を使って、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 + 4k + 1) = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2$, $\sum_{k=1}^{n} k$, $\sum_{k=1}^{n} 1$ の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入します。

$4 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + 2n(n+1) + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1) + 3n}{3}$

$= \frac{n(2(n+1)(2n+1) + 6(n+1) + 3)}{3}$

$= \frac{n(2(2n^2+3n+1) + 6n+6 + 3)}{3}$

$= \frac{n(4n^2 + 6n + 2 + 6n + 9)}{3}$

$= \frac{n(4n^2 + 12n + 11)}{3}$

$= \frac{4n^3 + 12n^2 + 11n}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4n^3 + 12n^2 + 11n}{3}$