周の長さが12mである長方形において、縦の長さを $x$ mとするとき、長方形の面積を最大にする $x$ の値と、そのときの面積の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

周の長さが12mである長方形において、縦の長さを $x$ mとするとき、長方形の面積を最大にする $x$ の値と、そのときの面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

長方形の縦の長さを $x$ とすると、周の長さが12mであることから、横の長さは $(12 - 2x) / 2 = 6 - x$ と表せる。

長方形の面積 $S$ は、縦の長さ $x$ と横の長さ $6 - x$ の積で表されるので、

$S = x(6 - x) = 6x - x^2$

$S$ を最大にする $x$ の値を求めるため、$S$ を平方完成する。

$S = -x^2 + 6x = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x - 3)^2 + 9$

この式から、$S$ は $x = 3$ のとき最大値9をとることがわかる。

ただし、長方形の辺の長さは正である必要があるため、$x > 0$ かつ $6 - x > 0$ でなければならない。つまり、$0 < x < 6$ である必要がある。 今回、$x = 3$ はこの範囲に含まれるため問題ない。

3. 最終的な答え

長方形の面積を最大にする $x$ の値は 3 mであり、面積の最大値は 9 $m^2$ である。