$f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ が次のように定義されています。 $ f\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x_1 + x_2 + 3x_3 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \end{array}\right) $ このとき、$f$ が線形写像であること、$f$ の像 $\text{Im } f$ が $\mathbb{R}^2$ の部分空間であることを示し、$\text{Im } f$ の次元と基底を求めます。

1. 問題の内容

$f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ が次のように定義されています。

$f\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x_1 + x_2 + 3x_3 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \end{array}\right)$

このとき、$f$ が線形写像であること、$f$ の像 $\text{Im } f$ が $\mathbb{R}^2$ の部分空間であることを示し、$\text{Im } f$ の次元と基底を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f$ が線形写像であることを示す。

線形写像であるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

(i) $f(u+v) = f(u) + f(v)$

(ii) $f(cu) = cf(u)$ （$c$ はスカラー）

ここで、$u = \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)$、$v = \left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array}\right)$ とします。

まず、$f(u+v)$ を計算します。

$f(u+v) = f\left(\begin{array}{c} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} (x_1+y_1) + (x_2+y_2) + 3(x_3+y_3) \\ 2(x_1+y_1) + 3(x_2+y_2) + 4(x_3+y_3) \end{array}\right)$

$= \left(\begin{array}{c} x_1 + x_2 + 3x_3 + y_1 + y_2 + 3y_3 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 2y_1 + 3y_2 + 4y_3 \end{array}\right)$

次に、$f(u) + f(v)$ を計算します。

$f(u) + f(v) = \left(\begin{array}{c} x_1 + x_2 + 3x_3 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} y_1 + y_2 + 3y_3 \\ 2y_1 + 3y_2 + 4y_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x_1 + x_2 + 3x_3 + y_1 + y_2 + 3y_3 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 2y_1 + 3y_2 + 4y_3 \end{array}\right)$

したがって、$f(u+v) = f(u) + f(v)$ が成り立ちます。

次に、$f(cu)$ を計算します。

$f(cu) = f\left(\begin{array}{c} cx_1 \\ cx_2 \\ cx_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} cx_1 + cx_2 + 3cx_3 \\ 2cx_1 + 3cx_2 + 4cx_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} c(x_1 + x_2 + 3x_3) \\ c(2x_1 + 3x_2 + 4x_3) \end{array}\right) = c\left(\begin{array}{c} x_1 + x_2 + 3x_3 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \end{array}\right) = cf(u)$

したがって、$f(cu) = cf(u)$ が成り立ちます。

以上より、$f$ は線形写像です。

(2) $\text{Im } f$ が $\mathbb{R}^2$ の部分空間であることを示す。

$\text{Im } f$ は $f$ による $\mathbb{R}^3$ の像なので、明らかに $\mathbb{R}^2$ の部分集合です。

$\text{Im } f$ が部分空間であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

(i) ゼロベクトルが含まれる。

(ii) 和について閉じている。

(iii) スカラー倍について閉じている。

$f(0, 0, 0) = (0, 0)$ なので、ゼロベクトルは $\text{Im } f$ に含まれます。

$f(u)$ と $f(v)$ が $\text{Im } f$ の元であるとき、$f(u) + f(v) = f(u+v)$ であり、$u+v$ は $\mathbb{R}^3$ の元なので、$f(u+v)$ は $\text{Im } f$ の元です。したがって、和について閉じています。

$f(u)$ が $\text{Im } f$ の元であるとき、$cf(u) = f(cu)$ であり、$cu$ は $\mathbb{R}^3$ の元なので、$f(cu)$ は $\text{Im } f$ の元です。したがって、スカラー倍について閉じています。

以上より、$\text{Im } f$ は $\mathbb{R}^2$ の部分空間です。

(3) $\text{Im } f$ の次元と基底を求める。

$f\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) = x_1\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) + x_2\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right) + x_3\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}\right)$

$\text{Im } f$ は $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}\right)$ によって張られます。

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)$ と $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right)$ は線形独立なので、これらは $\mathbb{R}^2$ の基底になります。

$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}\right) = a\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) + b\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right)$ とすると、$a+b=3$, $2a+3b=4$ より、$a=5$, $b=-2$ となります。

したがって、$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}\right)$ は $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)$ と $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right)$ の線形結合で表されるので、$\text{Im } f$ は $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)$ と $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right)$ によって張られます。

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)$ と $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right)$ は線形独立なので、$\text{Im } f$ の基底は $\left\{\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right)\right\}$ であり、次元は 2 です。

$\text{Im } f = \mathbb{R}^2$ であることも分かります。

3. 最終的な答え

$f$ は線形写像である。$\text{Im } f$ は $\mathbb{R}^2$ の部分空間である。$\text{Im } f$ の次元は 2 であり、基底は $\left\{\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right)\right\}$ である。