九九表の中から一つの数を選び、その数を4倍した値が、選んだ数の左上、右上、左下、右下の4つの数の和と等しくなることを証明する問題です。証明の穴埋め形式で、アからサを埋める必要があります。

1. 問題の内容

九九表の中から一つの数を選び、その数を4倍した値が、選んだ数の左上、右上、左下、右下の4つの数の和と等しくなることを証明する問題です。証明の穴埋め形式で、アからサを埋める必要があります。

2. 解き方の手順

ア: 最初に決めた数は、かけられる数が $a$、かける数が $b$ なので、$a \times b$ つまり $ab$ と表されます。

イ: これを4倍すると、$4 \times ab = 4ab$ となります。

ウ、エ: 左上の数は、$a$ より1小さく、$b$ より1小さい数の積なので、$(a-1) \times (b-1)$ つまり $(a-1)(b-1)$ と表されます。

オ、カ: 右上の数は、$a$ より1小さく、$b$ より1大きい数の積なので、$(a-1) \times (b+1)$ つまり $(a-1)(b+1)$ と表されます。

キ、ク: 左下の数は、$a$ より1大きく、$b$ より1小さい数の積なので、$(a+1) \times (b-1)$ つまり $(a+1)(b-1)$ と表されます。

ケ、コ: 右下の数は、$a$ より1大きく、$b$ より1大きい数の積なので、$(a+1) \times (b+1)$ つまり $(a+1)(b+1)$ と表されます。

サ: これらの和を計算します。

$(a-1)(b-1) + (a-1)(b+1) + (a+1)(b-1) + (a+1)(b+1)$

$= (ab - a - b + 1) + (ab - a + b - 1) + (ab + a - b - 1) + (ab + a + b + 1)$

$= ab - a - b + 1 + ab - a + b - 1 + ab + a - b - 1 + ab + a + b + 1$

$= 4ab$

したがって、最初に決めた数を4倍した数は、表の中の最初に決めた数の左上、右上、左下、右下の4つの数の和と等しくなります。

3. 最終的な答え

ア: $ab$

イ: $4ab$

ウ: $a-1$

エ: $b-1$

オ: $a-1$

カ: $b+1$

キ: $a+1$

ク: $b-1$

ケ: $a+1$

コ: $b+1$

サ: $(a-1)(b-1) + (a-1)(b+1) + (a+1)(b-1) + (a+1)(b+1) = 4ab$