1枚のコインを8回投げます。表が出たら1点、裏が出たら-1点とします。 (1) 点数の合計が0点である確率を求めます。 (2) 点数の合計が5点以上である確率を求めます。

1. 問題の内容

1枚のコインを8回投げます。表が出たら1点、裏が出たら-1点とします。

(1) 点数の合計が0点である確率を求めます。

(2) 点数の合計が5点以上である確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点数の合計が0点になるためには、表が4回、裏が4回出る必要があります。

8回中、表が4回出る組み合わせの数は、二項係数で表されます。

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{}_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70

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コインを8回投げる場合の総数は $2^8 = 256$ です。

したがって、合計が0点である確率は、

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\frac{{}_8C_4}{2^8} = \frac{70}{256} = \frac{35}{128}

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(2) 点数の合計が5点以上になる場合を考えます。

表が出た回数を$x$、裏が出た回数を$y$とすると、$x+y=8$であり、$x-y \ge 5$を満たす必要があります。

$x-y = x - (8-x) = 2x - 8 \ge 5$となるため、$2x \ge 13$、$x \ge 6.5$となります。

したがって、$x$は7または8です。

* $x=7$のとき、$y=1$。この組み合わせの数は${}_8C_7 = 8$通りです。

* $x=8$のとき、$y=0$。この組み合わせの数は${}_8C_8 = 1$通りです。

合計が5点以上になる組み合わせの数は$8+1=9$通りです。

したがって、合計が5点以上である確率は、

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\frac{9}{256}

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3. 最終的な答え

(1) 点数の合計が0点である確率：$\frac{35}{128}$

(2) 点数の合計が5点以上である確率：$\frac{9}{256}$