1組のトランプから、ハートの札の2,3,4,5,6,7の6枚と、スペードの札の3,4,5,6,7,8の6枚を取り出し、それぞれ札の山を作る。それぞれの山から3枚ずつ無作為に抜き出し、ハートの札に書かれた数字とスペードの札に書かれた数字が一致するごとに1点もらえるものとし、得点の合計を$X$とする。 (1)札の抜き出し方の総数を求めよ。 (2)$X=3$となる確率を求めよ。 (3)ハートの札の山から抜き出した3枚にハートの2が含まれて、$X=0$となる確率を求めよ。また、ハートの札の山から抜き出した3枚にハートの2が含まれないで、$X=0$となる確率を求めよ。さらに、$X=0$であるという条件の下で、取り出した3枚にハートの2のカードが含まれる条件付き確率を求めよ。 (4)$X=2$となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

1組のトランプから、ハートの札の2,3,4,5,6,7の6枚と、スペードの札の3,4,5,6,7,8の6枚を取り出し、それぞれ札の山を作る。それぞれの山から3枚ずつ無作為に抜き出し、ハートの札に書かれた数字とスペードの札に書かれた数字が一致するごとに1点もらえるものとし、得点の合計を$X$とする。

(1)札の抜き出し方の総数を求めよ。

(2)$X=3$となる確率を求めよ。

(3)ハートの札の山から抜き出した3枚にハートの2が含まれて、$X=0$となる確率を求めよ。また、ハートの札の山から抜き出した3枚にハートの2が含まれないで、$X=0$となる確率を求めよ。さらに、$X=0$であるという条件の下で、取り出した3枚にハートの2のカードが含まれる条件付き確率を求めよ。

(4)$X=2$となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ハートの札の山から3枚を取り出す方法は、$_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。スペードの札の山から3枚を取り出す方法は、$_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。したがって、札の抜き出し方の総数は $20 \times 20 = 400$通り。

(2) $X=3$となるのは、ハートとスペードから取り出した3枚の数字が全て一致する場合である。ハートから{3,4,5}、{4,5,6}、{5,6,7}を選び、スペードから{3,4,5}、{4,5,6}、{5,6,7}を選ぶときに対応する。この条件を満たすのは、ハートから{3,4,5}を取り出し、スペードから{3,4,5}を取り出す場合のみ。したがって、確率は$\frac{1}{20} \times \frac{1}{20} = \frac{1}{400}$。しかし、各数字の組合せの数が異なると確率は変化する。ハートの3枚とスペードの3枚が完全に一致する場合のみ$X=3$となる。ハートの札から3,4,5を取り出し、スペードの札から3,4,5を取り出すときのみ$X=3$となるので、該当するのは1通り。$X=3$となる確率は$\frac{1}{400}$である。

(3) ハートの札から抜き出した3枚にハートの2が含まれ、$X=0$となる確率を求める。ハートの札から2を含む3枚を選ぶ方法は$_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。スペードの札から選んだ3枚が、ハートの札から選んだ3枚と一致する数字がないように選ぶ必要がある。まず、ハートから選ばれた数字を{2, a, b}とする。このとき、スペードの札からaもbも含まない3枚を選ぶ必要がある。

ハートの札の選び方は{2,3,4}, {2,3,5}, {2,3,6}, {2,3,7}, {2,4,5}, {2,4,6}, {2,4,7}, {2,5,6}, {2,5,7}, {2,6,7}の10通り。

{2,3,4}のとき、スペードから5,6,8の3枚を選ぶ場合は1通り。

{2,3,5}のとき、スペードから4,6,8か4,7,8の2通り。

{2,3,6}のとき、スペードから4,5,8か4,7,8か5,7,8の3通り。

{2,3,7}のとき、スペードから4,5,8か4,6,8か5,6,8の3通り。

{2,4,5}のとき、スペードから3,6,8か3,7,8か6,7,8の3通り。

{2,4,6}のとき、スペードから3,5,8か3,7,8か5,7,8の3通り。

{2,4,7}のとき、スペードから3,5,8か3,6,8か5,6,8の3通り。

{2,5,6}のとき、スペードから3,4,8か3,7,8か4,7,8の3通り。

{2,5,7}のとき、スペードから3,4,8か3,6,8か4,6,8の3通り。

{2,6,7}のとき、スペードから3,4,8か3,5,8か4,5,8の3通り。

1+2+3+3+3+3+3+3+3+3 = 27

ハートの札から2を含み、$X=0$となる確率は$\frac{27}{400}$。

ハートの札から2が含まれないで、$X=0$となる確率を求める。ハートの札から2を含まない3枚を選ぶ方法は$_5C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$通り。

{3,4,5}, {3,4,6}, {3,4,7}, {3,5,6}, {3,5,7}, {3,6,7}, {4,5,6}, {4,5,7}, {4,6,7}, {5,6,7}

スペードの札から選んだ3枚が、ハートの札から選んだ3枚と一致する数字がないように選ぶ必要がある。

{3,4,5} → {6,7,8} (1)

{3,4,6} → {5,7,8} (1)

{3,4,7} → {5,6,8} (1)

{3,5,6} → {4,7,8} (1)

{3,5,7} → {4,6,8} (1)

{3,6,7} → {4,5,8} (1)

{4,5,6} → {3,7,8} (1)

{4,5,7} → {3,6,8} (1)

{4,6,7} → {3,5,8} (1)

{5,6,7} → {3,4,8} (1)

ハートの札から2を含まず、$X=0$となる確率は$\frac{10}{20} \times \frac{10}{20} \times \frac{1}{20} = \frac{10}{400}$。

$X=0$となる確率は$\frac{27+10}{400} = \frac{37}{400}$。

$X=0$であるという条件の下で、取り出した3枚にハートの2のカードが含まれる条件付き確率は$\frac{27/400}{37/400} = \frac{27}{37}$。

(4) $X=2$となる確率を求める。

3. 最終的な答え

(1) 400

(2) 1/400

(3) ハートの札の山から抜き出した3枚に2が含まれてX=0となる確率は27/400。2が含まれないでX=0となる確率は10/400。条件付き確率は27/37。

(4) 計算中