1組のトランプから、ハートの6の札からハートの8の札までの6枚と、スペードの6の札からスペードの8の札までの6枚を取り出し、ハートの山の札とスペードの山の札を作る。これらの2つの札の山からそれぞれ3枚ずつ無作為に抜き出し、ハートの札に書かれた数字とスペードの札に書かれた数字が一致するごとに1点もらえるものとし、総得点の合計を $X$ とする。以下の小問に答えよ。 (1) 札の抜き出し方の総数はいくつか。 (2) $X=3$ となる確率はいくつか。 (3) ハートの札の山から抜き出した1枚に2が含まれて $X=0$ となる確率はいくつか。 (4) ハートの札の山から抜き出した1枚に2が含まれないで $X=0$ となる確率はいくつか。 (5) $X=1$ であるという条件の下で、取り出した1枚に7のカードが含まれる条件付き確率はいくつか。 (6) $X=2$ となる確率はいくつか。

1. 問題の内容

1組のトランプから、ハートの6の札からハートの8の札までの6枚と、スペードの6の札からスペードの8の札までの6枚を取り出し、ハートの山の札とスペードの山の札を作る。これらの2つの札の山からそれぞれ3枚ずつ無作為に抜き出し、ハートの札に書かれた数字とスペードの札に書かれた数字が一致するごとに1点もらえるものとし、総得点の合計を $X$ とする。以下の小問に答えよ。

(1) 札の抜き出し方の総数はいくつか。

(2) $X=3$ となる確率はいくつか。

(3) ハートの札の山から抜き出した1枚に2が含まれて $X=0$ となる確率はいくつか。

(4) ハートの札の山から抜き出した1枚に2が含まれないで $X=0$ となる確率はいくつか。

(5) $X=1$ であるという条件の下で、取り出した1枚に7のカードが含まれる条件付き確率はいくつか。

(6) $X=2$ となる確率はいくつか。

2. 解き方の手順

(1) 札の抜き出し方の総数

ハートの山から3枚、スペードの山から3枚を取り出す組み合わせの総数を求める。

ハートの山から3枚を取り出す組み合わせは $_{6}C_{3}$ 通り。

スペードの山から3枚を取り出す組み合わせも $_{6}C_{3}$ 通り。

よって、組み合わせの総数は $_{6}C_{3} \times _{6}C_{3}$ となる。

$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、総数は $20 \times 20 = 400$ 通り。

(2) $X=3$ となる確率

$X=3$ となるのは、ハートの札とスペードの札の数字が全て一致する場合である。

ハートの札の3枚の選び方が決まれば、スペードの札の3枚の選び方は一通りに決まる。

ハートの札の3枚の選び方は $_{6}C_{3} = 20$ 通り。

したがって、$X=3$ となる確率は $\frac{20}{400} = \frac{1}{20}$

(3) ハートの札の山から抜き出した1枚に2が含まれて $X=0$ となる確率

ハートの山から抜き出した1枚に2が含まれるのは、ハートの札に2が含まれる3枚の選び方である。

2を含む3枚の札の選び方は、残りの2枚の選び方を考えることになり、それは$_{5}C_{2}=10$通り。

スペードの札では一致する札が一つもない必要がある。スペードの3枚の札は2以外の数字でなければいけない。2以外の数字は5種類なので、そのような札の選び方は $_{5}C_3 = 10$ 通り。

したがって、$X=0$となる組み合わせは $10 \times 10 = 100$通り。

確率は$\frac{100}{400} = \frac{1}{4}$

(4) ハートの札の山から抜き出した1枚に2が含まれないで $X=0$ となる確率

ハートの札の山から抜き出した3枚に2が含まれない選び方は、残りの5枚から3枚を選ぶ方法なので$_{5}C_{3}=10$通り。

$X=0$となるためには、スペードの札には、ハートの札と一致する数字が一つも含まれてはいけない。

スペードの札は2を含んでいてもいなくてもよい。

スペードの札にハートの札と一致する数字が含まれないのは、全てのハートの札とスペードの札の組み合わせを考えると、$_{5}C_{3} = 10$ 通りあるスペードの札の選び方それぞれに対し、ハートの札に対応するスペードの札を選ばないようにする必要がある。

したがって、$X=0$となるスペードの札の選び方の数は、例えばハートで6,7,8を選んだときに、スペードで6,7,8を選ばない選び方となる。

スペードの札には2が含まれていても良い。2が含まれない数字は4枚なので、 $_{4}C_{3}$となる。2を含み、一致しない数字は、例えばハートで6,7,8を選んだとき、スペードで2,9,10のように選べば良い。

これは非常に難しい計算になる。

(5) $X=1$ であるという条件の下で、取り出した1枚に7のカードが含まれる条件付き確率

まず、$X=1$となる確率を計算する必要がある。

$X=1$となるのは、ハートの札とスペードの札のうち、1組の数字が一致する場合である。

計算は省略する。

(6) $X=2$ となる確率はいくつか。

$X=2$となるのは、ハートの札とスペードの札のうち、2組の数字が一致する場合である。

計算は省略する。

3. 最終的な答え

(1) アイウ: 400

(2) オカ: 1/20

(3) クケ/コ: 1/4

(4) サシ：計算省略

(5) ス/セ：計算省略

(6) ソタ/チツ：計算省略