任意の実数 $x$ に対して、不等式 $ax^2 - 2\sqrt{3}x + a + 2 \le 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

任意の実数 $x$ に対して、不等式 $ax^2 - 2\sqrt{3}x + a + 2 \le 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $ax^2 - 2\sqrt{3}x + a + 2 \le 0$ が任意の実数 $x$ に対して成り立つための条件を考えます。

場合分けを行います。

(i) $a = 0$ のとき、不等式は $-2\sqrt{3}x + 2 \le 0$ となります。これは $x \ge \frac{1}{\sqrt{3}}$ を意味し、すべての実数 $x$ に対して成り立つわけではありません。したがって、$a=0$ は条件を満たしません。

(ii) $a < 0$ のとき、2次関数 $f(x) = ax^2 - 2\sqrt{3}x + a + 2$ は上に凸の放物線を表します。不等式 $f(x) \le 0$ が任意の実数 $x$ に対して成り立つためには、この放物線が常に $x$ 軸の下にあるか、または $x$ 軸に接する必要があります。これは、判別式 $D$ が $D \le 0$ を満たすことを意味します。

判別式 $D$ は、

$D = (-2\sqrt{3})^2 - 4a(a+2) = 12 - 4a^2 - 8a = -4(a^2 + 2a - 3)$

と計算できます。

$D \le 0$ を解くと、

$-4(a^2 + 2a - 3) \le 0$

$a^2 + 2a - 3 \ge 0$

$(a+3)(a-1) \ge 0$

$a \le -3$ または $a \ge 1$

$a<0$ の条件と合わせると、$a \le -3$ です。

したがって、$a \le -3$ が求める範囲です。

3. 最終的な答え

$a \le -3$