問題は、与えられた数字をすべて並べてできる自然数がいくつあるかを求めるものです。 (1) 1, 1, 2, 2, 2, 3 (2) 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4

1. 問題の内容

問題は、与えられた数字をすべて並べてできる自然数がいくつあるかを求めるものです。

(1) 1, 1, 2, 2, 2, 3

(2) 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4

2. 解き方の手順

(1) の場合、数字は1が2つ、2が3つ、3が1つあります。全部で6つの数字があるので、並べ方は全部で $6!$ 通りです。しかし、同じ数字が複数あるため、それらの並べ替えは区別できません。したがって、1が2つ、2が3つあることから、並べ方の総数を $2!$ と $3!$ で割る必要があります。

並べ方の総数は、

$$\frac{6!}{2!3!1!} = \frac{720}{2 \cdot 6 \cdot 1} = \frac{720}{12} = 60$$

(2) の場合、数字は1が3つ、2が1つ、3が2つ、4が1つあります。全部で7つの数字があるので、並べ方は全部で $7!$ 通りです。しかし、同じ数字が複数あるため、それらの並べ替えは区別できません。したがって、1が3つ、3が2つあることから、並べ方の総数を $3!$ と $2!$ で割る必要があります。

並べ方の総数は、

$$\frac{7!}{3!2!1!1!} = \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{5040}{12} = 420$$

3. 最終的な答え

(1) 60個

(2) 420個