一辺の長さが2である正四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、辺BCの中点をNとする。 $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とおく。 (1) $\vec{OA} \cdot \vec{MN}$ を求めよ。 (2) $|\vec{MN}|$ を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが2である正四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、辺BCの中点をNとする。

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とおく。

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{MN}$ を求めよ。

(2) $|\vec{MN}|$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{MN}$ を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表す。

$\vec{OM} = \frac{1}{2} \vec{a}$

$\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) - \frac{1}{2}\vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

$\vec{OA} \cdot \vec{MN} = \vec{a} \cdot (-\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) = -\frac{1}{2}|\vec{a}|^2 + \frac{1}{2}\vec{a}\cdot\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}\cdot\vec{c}$

$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{c}| = 2$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\frac{\pi}{3}} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$

$\vec{b}\cdot\vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos{\frac{\pi}{3}} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$

$\vec{c}\cdot\vec{a} = |\vec{c}||\vec{a}|\cos{\frac{\pi}{3}} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$

$\vec{OA} \cdot \vec{MN} = -\frac{1}{2} \cdot 2^2 + \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 2 = -2 + 1 + 1 = 0$

(2) $|\vec{MN}|^2 = |-\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}|^2 = \frac{1}{4} |-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2$

$= \frac{1}{4} (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{a}\cdot\vec{c} + 2\vec{b}\cdot\vec{c})$

$= \frac{1}{4} (2^2 + 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = \frac{1}{4} (12 - 4 - 4 + 4) = \frac{1}{4} (8) = 2$

$|\vec{MN}| = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{MN} = 0$

(2) $|\vec{MN}| = \sqrt{2}$