座標空間内に4点 $O(0, 0, 0)$, $A(3, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(1, 2, 2)$ が与えられています。四面体OABCの体積を求めます。

1. 問題の内容

座標空間内に4点 $O(0, 0, 0)$, $A(3, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(1, 2, 2)$ が与えられています。四面体OABCの体積を求めます。

2. 解き方の手順

四面体OABCの体積Vは、ベクトル $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ を用いて、次の式で計算できます。

$V = \frac{1}{6} |(\vec{OA} \times \vec{OB}) \cdot \vec{OC}|$

まず、ベクトル $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ を求めます。

$\vec{OA} = A - O = (3, 0, 0) - (0, 0, 0) = (3, 0, 0)$

$\vec{OB} = B - O = (0, 2, 0) - (0, 0, 0) = (0, 2, 0)$

$\vec{OC} = C - O = (1, 2, 2) - (0, 0, 0) = (1, 2, 2)$

次に、$\vec{OA} \times \vec{OB}$ を計算します。

$\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (0-0)\vec{i} - (0-0)\vec{j} + (6-0)\vec{k} = (0, 0, 6)$

最後に、$(\vec{OA} \times \vec{OB}) \cdot \vec{OC}$ を計算します。

$(\vec{OA} \times \vec{OB}) \cdot \vec{OC} = (0, 0, 6) \cdot (1, 2, 2) = (0 \times 1) + (0 \times 2) + (6 \times 2) = 0 + 0 + 12 = 12$

四面体の体積Vは、

$V = \frac{1}{6} |(\vec{OA} \times \vec{OB}) \cdot \vec{OC}| = \frac{1}{6} |12| = \frac{1}{6} \times 12 = 2$

3. 最終的な答え

四面体OABCの体積は2です。