自然数の列を、第$n$群が$2^{n-1}$個の数からなるように群に分ける。 (1) 第$n$群の最初の自然数を求める。 (2) 500が第何群の第何項かを求める。 (3) 第$n$群にあるすべての自然数の和を求める。

1. 問題の内容

自然数の列を、第$n$群が$2^{n-1}$個の数からなるように群に分ける。

(1) 第$n$群の最初の自然数を求める。

(2) 500が第何群の第何項かを求める。

(3) 第$n$群にあるすべての自然数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の数を求める。

第$n-1$群までの項数の合計を考える。

第$k$群の項数は$2^{k-1}$個であるから、第$n-1$群までの項数の合計は、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-2} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、第$n$群の最初の数は、$2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1}$となる。

(2) 500が第何群の第何項かを求める。

まず、500が第何群に含まれるかを求める。

第$n$群までの項数の合計は、$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = 2^{n-1} + \dots + 1 = 2^n - 1$

$2^8 - 1 = 255 < 500 < 511 = 2^9 - 1$ であるから、500は第9群に含まれる。

第9群の最初の数は$2^{9-1} = 2^8 = 256$である。

したがって、500は第9群の$500 - 256 + 1 = 245$番目の数である。

(3) 第$n$群にあるすべての自然数の和を求める。

第$n$群の最初の数は$2^{n-1}$であり、第$n$群には$2^{n-1}$個の数がある。

したがって、第$n$群の最後の数は$2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$である。

第$n$群の和は、初項$2^{n-1}$、末項$2^n - 1$、項数$2^{n-1}$の等差数列の和であるから、

$\frac{2^{n-1} (2^{n-1} + 2^n - 1)}{2} = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の最初の自然数：$2^{n-1}$

(2) 500は第9群の第245項

(3) 第$n$群にあるすべての自然数の和：$3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$