三角形ABCにおいて、辺ABを1:3に内分する点をP、辺ACの中点をQ、辺BCを3:1に外分する点をRとする。このとき、3点P, Q, Rが一直線上にあることを証明し、さらにPQ:QRを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを1:3に内分する点をP、辺ACの中点をQ、辺BCを3:1に外分する点をRとする。このとき、3点P, Q, Rが一直線上にあることを証明し、さらにPQ:QRを求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて考える。$\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$ とする。

(1) $\vec{AP}$を$\vec{a}$で表す。

PはABを1:3に内分するので、

$\vec{AP} = \frac{1}{1+3}\vec{AB} = \frac{1}{4}\vec{a}$

(2) $\vec{AQ}$を$\vec{c}$で表す。

QはACの中点なので、

$\vec{AQ} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{c}$

(3) $\vec{AR}$を$\vec{a}$と$\vec{c}$で表す。

RはBCを3:1に外分するので、

$\vec{AR} = \frac{-1\vec{AB} + 3\vec{AC}}{3-1} = \frac{-\vec{a} + 3\vec{c}}{2} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{c}$

(4) $\vec{PQ}$を$\vec{a}$と$\vec{c}$で表す。

$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{4}\vec{a} = -\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$

(5) $\vec{PR}$を$\vec{a}$と$\vec{c}$で表す。

$\vec{PR} = \vec{AR} - \vec{AP} = (-\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{c}) - \frac{1}{4}\vec{a} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{c}$

(6) $\vec{PR} = k\vec{PQ}$となる実数kが存在することを示す。

$\vec{PR} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{c} = 3(-\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}) = 3\vec{PQ}$

よって、$\vec{PR} = 3\vec{PQ}$となるので、3点P, Q, Rは一直線上にある。

(7) PQ:QRを求める。

$\vec{PR} = 3\vec{PQ}$より、$PR = 3PQ$なので、$QR = PR - PQ = 3PQ - PQ = 2PQ$

したがって、$PQ:QR = PQ:2PQ = 1:2$

3. 最終的な答え

3点P, Q, Rは一直線上にある。

PQ:QR = 1:2