点 $Q$ が円 $x^2 + (y-2)^2 = 1$ 上を動くとき、点 $A(3,0)$ と点 $Q$ を結ぶ線分 $AQ$ の中点 $P$ の軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $Q$ が円 $x^2 + (y-2)^2 = 1$ 上を動くとき、点 $A(3,0)$ と点 $Q$ を結ぶ線分 $AQ$ の中点 $P$ の軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $Q$ の座標を $(s, t)$、点 $P$ の座標を $(x, y)$ とします。

$Q$ は円 $x^2 + (y-2)^2 = 1$ 上にあるので、

$s^2 + (t-2)^2 = 1$

が成り立ちます。

点 $P$ は線分 $AQ$ の中点なので、中点の座標の公式から

$x = \frac{3+s}{2}$

$y = \frac{0+t}{2}$

となります。

これらの式を $s$ と $t$ について解くと、

$s = 2x - 3$

$t = 2y$

となります。

これらの式を $s^2 + (t-2)^2 = 1$ に代入すると、

$(2x-3)^2 + (2y-2)^2 = 1$

となります。

この式を展開して整理すると、

$4x^2 - 12x + 9 + 4y^2 - 8y + 4 = 1$

$4x^2 - 12x + 4y^2 - 8y = -12$

$x^2 - 3x + y^2 - 2y = -3$

$(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + (y - 1)^2 - 1 = -3$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 = -3 + \frac{9}{4} + 1$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{-12 + 9 + 4}{4}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

したがって、点 $P$ の軌跡は、中心 $(\frac{3}{2}, 1)$、半径 $\frac{1}{2}$ の円となります。

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{1}{4}$