実数 $t$ がすべての値をとって変化するとき、2つの直線 $tx - y = t$ と $x + ty - 2t - 1 = 0$ の交点の軌跡を求める。

1. 問題の内容

実数 $t$ がすべての値をとって変化するとき、2つの直線 $tx - y = t$ と $x + ty - 2t - 1 = 0$ の交点の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2つの式を整理します。

$tx - y = t$ (1)

$x + ty - 2t - 1 = 0$ (2)

(1)より、$y = tx - t$ です。

これを(2)に代入して、$t$ を消去することを考えます。

$x + t(tx - t) - 2t - 1 = 0$

$x + t^2x - t^2 - 2t - 1 = 0$

$x - 1 + t^2(x - 1) - 2t = 0$

$(x - 1) + t^2(x - 1) - 2t = 0$

$(x - 1)(1 + t^2) - 2t = 0$

$(x - 1)(1 + t^2) = 2t$

$t = 0$のとき、(1)より$y=0$, (2)より$x-1=0$, つまり$x=1$。 よって点$(1, 0)$は軌跡上の点です。

$t \neq 0$のとき、$t=\frac{x}{x-1}$とおくと、

(2)より、$x + \frac{x}{x-1}y - 2\frac{x}{x-1} - 1 = 0$

両辺に$x-1$をかけると

$x(x-1) + xy - 2x - (x-1) = 0$

$x^2 - x + xy - 2x - x + 1 = 0$

$x^2 - 4x + xy + 1 = 0$

$y = \frac{-x^2+4x-1}{x}$

(1)より、$tx - t = y$なので、$t(x - 1) = y$

$x \neq 1$のとき、$t = \frac{y}{x - 1}$

(2)に代入して、$x + \frac{y}{x-1}y - 2\frac{y}{x-1} - 1 = 0$

$x(x-1) + y^2 - 2y - (x-1) = 0$

$x^2 - x + y^2 - 2y - x + 1 = 0$

$x^2 - 2x + y^2 - 2y + 1 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

これは、中心$(1, 1)$、半径1の円を表します。

$x = 1$のとき、$y = tx - t$より、$y = 0$

$x + ty - 2t - 1 = 0$より、$1 + t(0) - 2t - 1 = 0$、$-2t = 0$なので、$t = 0$

よって点$(1, 0)$は軌跡上の点です。

ただし、$x = 1$のとき、$t = \frac{y}{x-1}$が定義できないため、$x = 1$は除く必要があります。

軌跡は、円 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ ただし $(x,y) = (1,0)$を除く。

3. 最終的な答え

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$、ただし $(x, y) \neq (1, 0)$