三角形ABCと点Pに対して、 $5 \vec{AP} + 4 \vec{BP} + 3 \vec{CP} = \vec{0}$ が成り立つとき、 (1) 点Pの位置を求めよ。 (2) 三角形PBC、三角形PCA、三角形PABの面積比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCと点Pに対して、

$5 \vec{AP} + 4 \vec{BP} + 3 \vec{CP} = \vec{0}$ が成り立つとき、

(1) 点Pの位置を求めよ。

(2) 三角形PBC、三角形PCA、三角形PABの面積比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの位置

$\vec{AP}$ を基準に、他のベクトルを$\vec{AP}$で表す。

$\vec{BP} = \vec{AP} - \vec{AB}$

$\vec{CP} = \vec{AP} - \vec{AC}$

与えられた式に代入する。

$5 \vec{AP} + 4(\vec{AP} - \vec{AB}) + 3(\vec{AP} - \vec{AC}) = \vec{0}$

$5 \vec{AP} + 4 \vec{AP} - 4 \vec{AB} + 3 \vec{AP} - 3 \vec{AC} = \vec{0}$

$12 \vec{AP} = 4 \vec{AB} + 3 \vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{4 \vec{AB} + 3 \vec{AC}}{12}$

$\vec{AP} = \frac{4 \vec{AB} + 3 \vec{AC}}{4+3} \times \frac{7}{12}$

$\vec{AP} = \frac{7}{12} \frac{4 \vec{AB} + 3 \vec{AC}}{7}$

線分BCを3:4に内分する点をDとすると、

$\vec{AD} = \frac{4 \vec{AB} + 3 \vec{AC}}{7}$

したがって、

$\vec{AP} = \frac{7}{12} \vec{AD}$

点Pは線分ADを7:5に内分する点である。

(2) 面積比

$5 \vec{AP} + 4 \vec{BP} + 3 \vec{CP} = \vec{0}$

$5 \vec{AP} + 4(\vec{AP} - \vec{AB}) + 3(\vec{AP} - \vec{AC}) = \vec{0}$

$12 \vec{AP} = 4 \vec{AB} + 3 \vec{AC}$

面積比は、係数を利用する。

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 5 : 4 : 3$

3. 最終的な答え

(1) 点Pは線分BCを3:4に内分する点をDとすると、線分ADを7:5に内分する点である。

(2) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 5 : 4 : 3$