数列 $1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, \dots$ が与えられている。この数列の第100項と、初項から第100項までの和を求める。

1. 問題の内容

数列 $1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, \dots$ が与えられている。この数列の第100項と、初項から第100項までの和を求める。

2. 解き方の手順

数列は $1$, $1, 4$, $1, 4, 9$, $1, 4, 9, 16$, $1, 4, 9, 16, 25$, $1, \dots$ のように群に分けられている。

第$n$群は、$1, 4, 9, \dots, n^2$ という数列である。第$n$群の項数は$n$である。

まず、第100項がどの群に属するかを考える。第$n$群までの項数の合計は

$$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

である。

$\frac{n(n+1)}{2} \le 100$を満たす最大の$n$を求める。

$n(n+1) \le 200$を満たす最大の$n$は$n=13$である。

$\frac{13 \cdot 14}{2} = 91$なので、第13群までの項数は91である。

したがって、第100項は第14群に属し、第14群の$100 - 91 = 9$番目の項である。

第14群は$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196$なので、第9番目の項は81である。

よって、第100項は81である。

次に、初項から第100項までの和を求める。

第13群までの項数の合計は91なので、第1群から第13群までの和を求め、それに第14群の最初の9項の和を足せばよい。

第$n$群の和は

$$1 + 4 + 9 + \dots + n^2 = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

である。

第1群から第13群までの和は

$$\sum_{n=1}^{13} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \sum_{n=1}^{13} \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{13} n^3 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{13} n^2 + \frac{1}{6} \sum_{n=1}^{13} n$$

$$= \frac{1}{3} \left( \frac{13 \cdot 14}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} \frac{13 \cdot 14 \cdot 27}{6} + \frac{1}{6} \frac{13 \cdot 14}{2} = \frac{1}{3} (91)^2 + \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 7 \cdot \frac{9}{1} + \frac{1}{6} \cdot 13 \cdot 7 = \frac{8281}{3} + \frac{819}{2} + \frac{91}{6}$$

$$= \frac{16562 + 2457 + 91}{6} = \frac{19110}{6} = 3185$$

第14群の最初の9項の和は

$$1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 = 285$$

したがって、初項から第100項までの和は $3185 + 285 = 3470$である。

3. 最終的な答え

第100項: 81

初項から第100項までの和: 3470