三角形ABCにおいて、$a=8$, $c=7$, $\angle C = 60^\circ$ のとき、$b$ の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=8$, $c=7$, $\angle C = 60^\circ$ のとき、$b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を利用する。

余弦定理は、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ である。

この式に与えられた値を代入して、$b$ について解く。

$7^2 = 8^2 + b^2 - 2 \times 8 \times b \times \cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$49 = 64 + b^2 - 16b \times \frac{1}{2}$

$49 = 64 + b^2 - 8b$

$0 = b^2 - 8b + 15$

この二次方程式を解く。

$b^2 - 8b + 15 = 0$

$(b - 3)(b - 5) = 0$

したがって、$b = 3$ または $b = 5$

3. 最終的な答え

$b = 3$ または $b = 5$