(1) 円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = mx + 4$ が接するとき、定数 $m$ の値を求める。 (2) 円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $x - 3y - 10 = 0$ が共有点をもたないとき、円の半径 $r$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = mx + 4$ が接するとき、定数 $m$ の値を求める。

(2) 円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $x - 3y - 10 = 0$ が共有点をもたないとき、円の半径 $r$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 4$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $2$ である。直線 $y = mx + 4$ と円が接する条件は、円の中心と直線の距離が半径に等しいことである。

直線 $mx - y + 4 = 0$ と原点 $(0, 0)$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|m(0) - (0) + 4|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}}$

円と直線が接するためには、$d = 2$ である必要があるので、

$\frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$

$\sqrt{m^2 + 1} = 2$

$m^2 + 1 = 4$

$m^2 = 3$

$m = \pm \sqrt{3}$

(2) 円 $x^2 + y^2 = r^2$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $r$ である。直線 $x - 3y - 10 = 0$ と円が共有点を持たない条件は、円の中心と直線の距離が半径より大きいことである。

直線 $x - 3y - 10 = 0$ と原点 $(0, 0)$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|(0) - 3(0) - 10|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$

円と直線が共有点を持たないためには、$r < d$ である必要があるので、$r < \sqrt{10}$ 。また、$r>0$である。

3. 最終的な答え

(1) $m = \pm \sqrt{3}$

(2) $0 < r < \sqrt{10}$