円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + k$ が異なる2点で交わるように、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + k$ が異なる2点で交わるように、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線との距離が円の半径より小さいことです。

まず、円の中心と半径を確認します。円の方程式 $x^2 + y^2 = 4$ より、円の中心は原点(0, 0) であり、半径は $\sqrt{4} = 2$ です。

次に、円の中心(0, 0) と直線 $y = -x + k$ の距離 $d$ を求めます。直線の方程式は $x + y - k = 0$ と書き換えられます。点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|0 + 0 - k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-k|}{\sqrt{2}} = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$

円と直線が異なる2点で交わるためには、$d < 2$ である必要があります。したがって、

$\frac{|k|}{\sqrt{2}} < 2$

$|k| < 2\sqrt{2}$

この不等式を解くと、

$-2\sqrt{2} < k < 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-2\sqrt{2} < k < 2\sqrt{2}$