中心が $(1, 4)$ で、円 $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 11 = 0$ に接する円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

中心が $(1, 4)$ で、円 $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 11 = 0$ に接する円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円の方程式を標準形に変形します。

$x^2 - 4x + y^2 + 6y + 11 = 0$

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 11 = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + 11 - 4 - 9 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 2$

したがって、与えられた円の中心は $(2, -3)$ で、半径は $\sqrt{2}$ です。

求める円の中心は $(1, 4)$ です。

2つの円が接する場合、2つの円の中心間の距離は、2つの円の半径の和または差に等しくなります。

2つの円の中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(2-1)^2 + (-3-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

求める円の半径を $r$ とします。

2つの円が外接する場合、$5\sqrt{2} = \sqrt{2} + r$ より $r = 4\sqrt{2}$

2つの円が内接する場合、$5\sqrt{2} = | \sqrt{2} - r |$

$r - \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ より $r = 6\sqrt{2}$

$\sqrt{2} - r = 5\sqrt{2}$ より $r = -4\sqrt{2}$ (不適)

外接する場合の円の方程式は $(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$

内接する場合の円の方程式は $(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72$

3. 最終的な答え

求める円の方程式は、

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 32$ または $(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 72$

展開すると

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 32$ より $x^2 + y^2 - 2x - 8y - 15 = 0$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 72$ より $x^2 + y^2 - 2x - 8y - 55 = 0$

よって、円の方程式は

$(x-1)^2 + (y-4)^2 = 32$ または $(x-1)^2 + (y-4)^2 = 72$