与えられた方程式と不等式を解く問題です。具体的には以下の4つの問題を解きます。 (1) $27^{x+1} = 9^{2x+3}$ (2) $\frac{1}{9^x} - \frac{6}{3^x} - 27 > 0$ (3) $\log_3 x + \log_9 (4-x) = 1$ (4) $-2 (\log_2 x)^2 + 9 \log_8 2x < 1$

1. 問題の内容

与えられた方程式と不等式を解く問題です。具体的には以下の4つの問題を解きます。

(1) $27^{x+1} = 9^{2x+3}$

(2) $\frac{1}{9^x} - \frac{6}{3^x} - 27 > 0$

(3) $\log_3 x + \log_9 (4-x) = 1$

(4) $-2 (\log_2 x)^2 + 9 \log_8 2x < 1$

2. 解き方の手順

(1)

$27^{x+1} = (3^3)^{x+1} = 3^{3x+3}$

$9^{2x+3} = (3^2)^{2x+3} = 3^{4x+6}$

したがって、 $3^{3x+3} = 3^{4x+6}$

底が同じなので、指数部分が等しい。

$3x+3 = 4x+6$

$x = -3$

(2)

$t = (\frac{1}{3})^x$とおくと

$t^2 - 6t - 27 > 0$

$(t-9)(t+3) > 0$

$t < -3$ または $t > 9$

$(\frac{1}{3})^x < -3$となる$x$は存在しない。

$(\frac{1}{3})^x > 9 = (\frac{1}{3})^{-2}$

$x < -2$

(3)

$\log_3 x + \log_9 (4-x) = 1$

$\log_3 x + \frac{\log_3 (4-x)}{\log_3 9} = 1$

$\log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 (4-x) = 1$

$2 \log_3 x + \log_3 (4-x) = 2$

$\log_3 x^2 + \log_3 (4-x) = 2$

$\log_3 x^2(4-x) = 2$

$x^2(4-x) = 3^2 = 9$

$4x^2 - x^3 = 9$

$x^3 - 4x^2 + 9 = 0$

$(x+1)(x^2 - 5x + 9) = 0$

$x=-1$ または $x^2 - 5x + 9 = 0$

$x^2 - 5x + 9 = 0$を解くと、判別式$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 25 - 36 = -11 < 0$なので、実数解を持たない。

また、対数の真数条件より、$x>0$かつ$4-x>0$なので、$0<x<4$を満たす必要がある。

よって、$x=-1$は真数条件を満たさないので不適。

したがって、解なし。

(4)

$-2(\log_2 x)^2 + 9 \log_8 2x < 1$

$-2(\log_2 x)^2 + 9 \log_8 2 + 9 \log_8 x < 1$

$-2(\log_2 x)^2 + 9 \cdot \frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{\log_2 x}{3} < 1$

$-2(\log_2 x)^2 + 3 + 3\log_2 x < 1$

$-2(\log_2 x)^2 + 3 \log_2 x + 2 < 0$

$2(\log_2 x)^2 - 3 \log_2 x - 2 > 0$

$t = \log_2 x$とおくと、$2t^2 - 3t - 2 > 0$

$(2t+1)(t-2) > 0$

$t < -\frac{1}{2}$ または $t > 2$

$\log_2 x < -\frac{1}{2}$ または $\log_2 x > 2$

$x < 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $x > 2^2 = 4$

真数条件より、$x > 0$なので、

$0 < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $x > 4$

3. 最終的な答え

(1) $x = -3$

(2) $x < -2$

(3) 解なし

(4) $0 < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $x > 4$