正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の奇数を含むように分割する。 (1) 第10群の最初の奇数を求める。 (2) 第10群にあるすべての奇数の和を求める。 (3) 2009が第何番目の群の左から何番目にあるか求める。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の奇数を含むように分割する。

(1) 第10群の最初の奇数を求める。

(2) 第10群にあるすべての奇数の和を求める。

(3) 2009が第何番目の群の左から何番目にあるか求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の奇数を求める。

第 $n$ 群の最初の奇数は、それまでの群に含まれる奇数の個数の合計に1を加えたものが奇数列の中で何番目かを表す。

第 $n$ 群の直前までの奇数の個数の合計は $1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ である。

したがって、第 $n$ 群の最初の奇数は、奇数列の中で $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 番目である。

奇数列の $m$ 番目の奇数は $2m - 1$ で表される。

したがって、第 $n$ 群の最初の奇数は $2(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = n(n-1) + 2 - 1 = n^2 - n + 1$ である。

$n = 10$ のとき、$10^2 - 10 + 1 = 100 - 10 + 1 = 91$

(2) 第 $n$ 群の最後の奇数を求める。

第 $n$ 群には $n$ 個の奇数が含まれる。したがって、第 $n$ 群の最後の奇数は、奇数列の中で $\frac{(n-1)n}{2} + n = \frac{n(n-1) + 2n}{2} = \frac{n^2 + n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$ 番目である。

したがって、第 $n$ 群の最後の奇数は $2(\frac{n(n+1)}{2}) - 1 = n(n+1) - 1 = n^2 + n - 1$ である。

$n=10$ のとき、$10^2 + 10 - 1 = 100 + 10 - 1 = 109$

第10群の奇数は91, 93, 95, 97, 99, 101, 103, 105, 107, 109である。

これらの奇数の和は、$91 + 93 + 95 + 97 + 99 + 101 + 103 + 105 + 107 + 109 = 1000$。

または、等差数列の和の公式を使う。第10群の奇数の和は、項数 $n=10$, 初項 $a=91$, 末項 $l=109$ の等差数列の和であり、$S = \frac{n(a+l)}{2} = \frac{10(91+109)}{2} = \frac{10(200)}{2} = 1000$。

(3) 2009が第何番目の群にあるか調べる。

$n^2 - n + 1 \le 2009 \le n^2 + n - 1$ を満たす $n$ を探す。

$n$ が整数のとき、$n^2 \approx 2009$ なので、$n \approx \sqrt{2009} \approx 44.8$。

$n = 44$ のとき、$44^2 - 44 + 1 = 1936 - 44 + 1 = 1893$。

$44^2 + 44 - 1 = 1936 + 44 - 1 = 1979$。

$n = 45$ のとき、$45^2 - 45 + 1 = 2025 - 45 + 1 = 1981$。

$45^2 + 45 - 1 = 2025 + 45 - 1 = 2069$。

したがって、2009は第45群にある。

第45群の最初の奇数は $45^2 - 45 + 1 = 1981$。

2009が第45群の左から何番目にあるか調べる。

2009は奇数列の中で $(2009+1)/2 = 1005$ 番目。

第45群の最初の奇数は奇数列の中で $\frac{(45-1)45}{2} + 1 = \frac{44 \times 45}{2} + 1 = 22 \times 45 + 1 = 990 + 1 = 991$ 番目。

したがって、2009は第45群の左から $1005 - 991 + 1 = 14 + 1 = 15$ 番目にある。

3. 最終的な答え

(1) 91

(2) 1000

(3) 第45群の左から15番目