与えられた3つの関数をフーリエ級数展開する問題です。それぞれの関数は周期関数とします。 (1) $f(x) = 2x - 1 (-\pi \le x \le \pi)$ (2) $f(x) = x + 1 (-1 \le x \le 1)$ (3) $f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \le x \le 0) \\ 2 & (0 \le x \le 2) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数をフーリエ級数展開する問題です。それぞれの関数は周期関数とします。

(1) $f(x) = 2x - 1 (-\pi \le x \le \pi)$

(2) $f(x) = x + 1 (-1 \le x \le 1)$

(3) $f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \le x \le 0) \\ 2 & (0 \le x \le 2) \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 2x - 1 (-\pi \le x \le \pi)$ のフーリエ級数展開

フーリエ級数の一般形は、周期$2L$の関数に対して

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(\frac{n\pi x}{L}) + b_n \sin(\frac{n\pi x}{L}))$

で与えられます。

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数であり、以下の式で計算されます。

$a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi x}{L}) dx$

$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin(\frac{n\pi x}{L}) dx$

この問題の場合、$L = \pi$ です。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (2x - 1) dx = \frac{1}{\pi} [x^2 - x]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{\pi} [(\pi^2 - \pi) - (\pi^2 + \pi)] = -2$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (2x - 1) \cos(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 2x \cos(nx) dx - \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) dx$

$\int_{-\pi}^{\pi} 2x \cos(nx) dx$は奇関数なので、積分は0になります。

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) dx = [\frac{1}{n}\sin(nx)]_{-\pi}^{\pi} = 0$

したがって、$a_n = 0$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (2x - 1) \sin(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 2x \sin(nx) dx - \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) dx$

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) dx$は奇関数なので、積分は0になります。

$\int_{-\pi}^{\pi} 2x \sin(nx) dx = 2 [-\frac{x}{n}\cos(nx)]_{-\pi}^{\pi} + 2\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{n}\cos(nx) dx = 2 [-\frac{\pi}{n}\cos(n\pi) - \frac{\pi}{n}\cos(-n\pi)] + 0 = -\frac{4\pi}{n} \cos(n\pi) = -\frac{4\pi}{n} (-1)^n = \frac{4\pi}{n}(-1)^{n+1}$

$b_n = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{4\pi}{n}(-1)^{n+1} = \frac{4}{n}(-1)^{n+1}$

したがって、

$f(x) = \frac{-2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n}(-1)^{n+1} \sin(nx) = -1 + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)$

(2) $f(x) = x + 1 (-1 \le x \le 1)$ のフーリエ級数展開

この問題の場合、$L = 1$ です。

$a_0 = \frac{1}{1} \int_{-1}^{1} (x + 1) dx = [\frac{x^2}{2} + x]_{-1}^{1} = (\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{2} - 1) = 2$

$a_n = \frac{1}{1} \int_{-1}^{1} (x + 1) \cos(n\pi x) dx = \int_{-1}^{1} x \cos(n\pi x) dx + \int_{-1}^{1} \cos(n\pi x) dx$

$\int_{-1}^{1} x \cos(n\pi x) dx$は奇関数なので、積分は0になります。

$\int_{-1}^{1} \cos(n\pi x) dx = [\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x)]_{-1}^{1} = \frac{1}{n\pi}\sin(n\pi) - \frac{1}{n\pi}\sin(-n\pi) = 0$

したがって、$a_n = 0$

$b_n = \frac{1}{1} \int_{-1}^{1} (x + 1) \sin(n\pi x) dx = \int_{-1}^{1} x \sin(n\pi x) dx + \int_{-1}^{1} \sin(n\pi x) dx$

$\int_{-1}^{1} \sin(n\pi x) dx$は奇関数なので、積分は0になります。

$\int_{-1}^{1} x \sin(n\pi x) dx = [-\frac{x}{n\pi}\cos(n\pi x)]_{-1}^{1} + \int_{-1}^{1} \frac{1}{n\pi}\cos(n\pi x) dx = [-\frac{1}{n\pi}\cos(n\pi) - \frac{1}{n\pi}\cos(-n\pi)(-1)] + 0 = -\frac{2}{n\pi} (-1)^n = \frac{2}{n\pi}(-1)^{n+1}$

したがって、

$f(x) = \frac{2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi}(-1)^{n+1} \sin(n\pi x) = 1 + \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(n\pi x)$

(3) $f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \le x \le 0) \\ 2 & (0 \le x \le 2) \end{cases}$ のフーリエ級数展開

この問題の場合、$L = 2$ です。

$f(x)$は奇関数なので、$a_0 = 0$、 $a_n = 0$となります。

$b_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx = \frac{1}{2} \int_{-2}^{0} -2 \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} 2 \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx$

$= -\int_{-2}^{0} \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx + \int_{0}^{2} \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx = [\frac{2}{n\pi}\cos(\frac{n\pi x}{2})]_{-2}^{0} + [-\frac{2}{n\pi}\cos(\frac{n\pi x}{2})]_{0}^{2}$

$= \frac{2}{n\pi} (1 - \cos(-n\pi)) - \frac{2}{n\pi} (\cos(n\pi) - 1) = \frac{4}{n\pi} (1 - \cos(n\pi)) = \frac{4}{n\pi} (1 - (-1)^n)$

$b_n = \begin{cases} \frac{8}{n\pi} & (n: \text{奇数}) \\ 0 & (n: \text{偶数}) \end{cases}$

したがって、

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n\pi} (1 - (-1)^n) \sin(\frac{n\pi x}{2}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{8}{(2k+1)\pi} \sin(\frac{(2k+1)\pi x}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = -1 + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)$

(2) $f(x) = 1 + \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(n\pi x)$

(3) $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{8}{(2k+1)\pi} \sin(\frac{(2k+1)\pi x}{2})$