(1) 関数 $y = x^3 + 3x^2 + 7x + 1$ の増減を調べ、極値をもたないことを確認する。 (2) 関数 $y = -x^3 + 6x^2 - 12x + 8$ の増減を調べ、極値をもたないことを確認する。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^3 + 3x^2 + 7x + 1$ の増減を調べ、極値をもたないことを確認する。

(2) 関数 $y = -x^3 + 6x^2 - 12x + 8$ の増減を調べ、極値をもたないことを確認する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた関数 $y = x^3 + 3x^2 + 7x + 1$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 3x^2 + 6x + 7$

次に、$y'$ の符号を調べます。$y' = 0$ となる $x$ が存在するかどうかを判別式を用いて確認します。$y'$ の判別式 $D$ は、

$D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 36 - 84 = -48$

$D < 0$ なので、$y' = 0$ となる実数 $x$ は存在しません。また、$y'$ の $x^2$ の係数は正なので、$y' > 0$ が常に成り立ちます。したがって、$y$ は単調増加であり、極値を持ちません。

(2)

次に、与えられた関数 $y = -x^3 + 6x^2 - 12x + 8$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = -3x^2 + 12x - 12 = -3(x^2 - 4x + 4) = -3(x - 2)^2$

$y' = -3(x - 2)^2$ は常に 0 以下であり、$x = 2$ のときのみ $y' = 0$ となります。

$x < 2$ のとき、$y' < 0$ であり、$x > 2$ のときも $y' < 0$ です。したがって、$y$ は常に減少しており、$x = 2$ で $y'$ が 0 になるものの、$y$ の増減は変化しないため、極値を持ちません。

3. 最終的な答え

(1) 関数 $y = x^3 + 3x^2 + 7x + 1$ は単調増加であり、極値を持たない。

(2) 関数 $y = -x^3 + 6x^2 - 12x + 8$ は単調減少であり、極値を持たない。