男子4人と女子3人を一列に並べる時、女子が必ず男子よりも前に並ぶような並べ方は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

男子4人と女子3人を一列に並べる時、女子が必ず男子よりも前に並ぶような並べ方は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、男子4人と女子3人の合計7人を一列に並べる場合の総数を考えます。これは7人の順列なので、$7!$ 通りです。

次に、女子が男子よりも前に並ぶという条件を考えます。7人の並び方の中で、女子と男子の並び順は、例えば、女女男女男女男、女男女男女男、などのように様々なパターンがあります。しかし、女子が男子よりも前に並ぶということは、どのような並び方であっても、女子3人と男子4人の並び順は固定されていると考えることができます。

例えば、7つの席があり、そのうち3つを女子が座る席として選び、残りの4つの席を男子が座る席とします。

この時、7つの席から3つを選ぶ組み合わせの数は ${}_7 \mathrm{C}_3$ で表されます。

席を選んだ後、女子3人の並び方は $3!$ 通り、男子4人の並び方は $4!$ 通りです。

したがって、求める並べ方の総数は、席の選び方の数と、それぞれの席における女子と男子の並び方の数の積で表されます。

${}_7 \mathrm{C}_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

それぞれの組み合わせに対して、女子3人の並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り、男子4人の並び方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

したがって、求める並べ方の総数は、

${}_7 \mathrm{C}_3 \times 3! \times 4! = 35 \times 6 \times 24 = 35 \times 144 = 5040$ 通りです。

これは全体の場合の数 $7! = 5040$ 通りと同じになります。

女子が男子よりも前に並ぶということは、3人の女子の順番と4人の男子の順番が決まれば、並び方は一通りに決まるということです。なので、7人全員の並び方の場合の数と同じになります。

3. 最終的な答え

5040通り