与えられた5つの極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x\to\infty} \frac{5x^2 - 8x + 4}{2x^2 + 3x + 7}$ (2) $\lim_{x\to 4} \frac{x^2 - 5x + 4}{x + \sqrt{x} - 6}$ (3) $\lim_{x\to 3} \frac{2^x - 8}{x^2 - 9}$ (4) $\lim_{x\to 0} (5 - 4\cos x)^{\frac{3}{x^2}}$ (5) $\lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{\log x}$

1. 問題の内容

与えられた5つの極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x\to\infty} \frac{5x^2 - 8x + 4}{2x^2 + 3x + 7}$

(2) $\lim_{x\to 4} \frac{x^2 - 5x + 4}{x + \sqrt{x} - 6}$

(3) $\lim_{x\to 3} \frac{2^x - 8}{x^2 - 9}$

(4) $\lim_{x\to 0} (5 - 4\cos x)^{\frac{3}{x^2}}$

(5) $\lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{\log x}$

2. 解き方の手順

(1) $x \to \infty$ なので、分子と分母をそれぞれ $x^2$ で割ります。

$\lim_{x\to\infty} \frac{5 - \frac{8}{x} + \frac{4}{x^2}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{7}{x^2}} = \frac{5 - 0 + 0}{2 + 0 + 0} = \frac{5}{2}$

(2) $x=4$ を代入すると、分子は $16 - 20 + 4 = 0$、分母は $4 + \sqrt{4} - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$ となり、不定形なので、因数分解して約分します。

$\lim_{x\to 4} \frac{(x-4)(x-1)}{x + \sqrt{x} - 6}$

ここで、$t = \sqrt{x}$ とすると、$x = t^2$ となり、$x \to 4$ のとき $t \to 2$ なので、

$\lim_{t\to 2} \frac{(t^2 - 4)(t^2 - 1)}{t^2 + t - 6} = \lim_{t\to 2} \frac{(t-2)(t+2)(t^2 - 1)}{(t-2)(t+3)} = \lim_{t\to 2} \frac{(t+2)(t^2-1)}{t+3} = \frac{(2+2)(4-1)}{2+3} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5}$

(3) $x=3$ を代入すると、分子は $2^3 - 8 = 0$、分母は $3^2 - 9 = 0$ となり、不定形なので、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x\to 3} \frac{2^x - 8}{x^2 - 9} = \lim_{x\to 3} \frac{\frac{d}{dx}(2^x - 8)}{\frac{d}{dx}(x^2 - 9)} = \lim_{x\to 3} \frac{2^x \log 2}{2x} = \frac{2^3 \log 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 \log 2}{6} = \frac{4}{3} \log 2$

(4) $\lim_{x\to 0} (5 - 4\cos x)^{\frac{3}{x^2}}$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ なので、

$\lim_{x\to 0} (5 - 4(1 - \frac{x^2}{2}))^{\frac{3}{x^2}} = \lim_{x\to 0} (5 - 4 + 2x^2)^{\frac{3}{x^2}} = \lim_{x\to 0} (1 + 2x^2)^{\frac{3}{x^2}} = \lim_{x\to 0} ((1 + 2x^2)^{\frac{1}{2x^2}})^{6} = e^6$

(5) $\lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{\log x}$

$-1 \leq \sin x \leq 1$ であり、$x \to \infty$ のとき $\log x \to \infty$ なので、

$\lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{\log x} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2}$

(2) $\frac{12}{5}$

(3) $\frac{4}{3} \log 2$

(4) $e^6$

(5) $0$