立方体の縦を2cm、横を4cm伸ばして直方体を作ったところ、体積が192 cm³になった。もとの立方体の1辺の長さを求めよ。

1. 問題の内容

立方体の縦を2cm、横を4cm伸ばして直方体を作ったところ、体積が192 cm³になった。もとの立方体の1辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

* もとの立方体の1辺の長さを $x$ cmとする。

* 直方体の縦の長さは $x+2$ cm、横の長さは $x+4$ cm、高さは $x$ cmとなる。

* 直方体の体積は、縦×横×高さで表されるので、

$(x+2)(x+4)x = 192$ という方程式が成り立つ。

* この方程式を解く。

$x(x+2)(x+4) = 192$

$x(x^2 + 6x + 8) = 192$

$x^3 + 6x^2 + 8x - 192 = 0$

* 因数定理を用いて、左辺が0になるような $x$ の値を見つける。

$x=4$ を代入すると $4^3 + 6 \cdot 4^2 + 8 \cdot 4 - 192 = 64 + 96 + 32 - 192 = 0$ となるので、$x-4$ は因数になる。

* $x^3 + 6x^2 + 8x - 192$ を $x-4$ で割ると、

$x^2 + 10x + 48$ となる。

* よって、$x^3 + 6x^2 + 8x - 192 = (x-4)(x^2 + 10x + 48) = 0$

* $x^2 + 10x + 48 = 0$ の判別式は、$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 100 - 192 = -92 < 0$ なので、実数解を持たない。

* したがって、$x-4 = 0$ より、$x=4$ が唯一の実数解となる。

* 立方体の1辺の長さは正なので、$x=4$ が答えとして適切である。

3. 最終的な答え

4 cm