与えられた連立一次方程式 $ \begin{cases} 2x - 3y - z = -4 \\ 4x - y - z = -2 \\ 5x + 3y + 2z = -7 \end{cases} $ を解き、拡大係数行列を簡約化した行列を求め、解 $x, y, z$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$\begin{cases} 2x - 3y - z = -4 \\ 4x - y - z = -2 \\ 5x + 3y + 2z = -7 \end{cases}$

を解き、拡大係数行列を簡約化した行列を求め、解 $x, y, z$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、連立一次方程式を拡大係数行列の形で表します。

$\begin{bmatrix} 2 & -3 & -1 & -4 \\ 4 & -1 & -1 & -2 \\ 5 & 3 & 2 & -7 \end{bmatrix}$

次に、この行列を簡約化します。

1行目を1/2倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & -3/2 & -1/2 & -2 \\ 4 & -1 & -1 & -2 \\ 5 & 3 & 2 & -7 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の4倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -3/2 & -1/2 & -2 \\ 0 & 5 & 1 & 6 \\ 5 & 3 & 2 & -7 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の5倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -3/2 & -1/2 & -2 \\ 0 & 5 & 1 & 6 \\ 0 & 18/2 & 9/2 & -7 + 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3/2 & -1/2 & -2 \\ 0 & 5 & 1 & 6 \\ 0 & 21/2 & 9/2 & 3 \end{bmatrix}$

2行目を1/5倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & -3/2 & -1/2 & -2 \\ 0 & 1 & 1/5 & 6/5 \\ 0 & 21/2 & 9/2 & 3 \end{bmatrix}$

1行目に2行目の3/2倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1/2 + 3/10 & -2 + 18/10 \\ 0 & 1 & 1/5 & 6/5 \\ 0 & 21/2 & 9/2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1/5 & -1/5 \\ 0 & 1 & 1/5 & 6/5 \\ 0 & 21/2 & 9/2 & 3 \end{bmatrix}$

3行目から2行目の21/2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1/5 & -1/5 \\ 0 & 1 & 1/5 & 6/5 \\ 0 & 0 & 9/2 - 21/10 & 3 - 63/10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1/5 & -1/5 \\ 0 & 1 & 1/5 & 6/5 \\ 0 & 0 & 24/10 & -33/10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1/5 & -1/5 \\ 0 & 1 & 1/5 & 6/5 \\ 0 & 0 & 12/5 & -33/10 \end{bmatrix}$

3行目を5/12倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1/5 & -1/5 \\ 0 & 1 & 1/5 & 6/5 \\ 0 & 0 & 1 & -33/24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1/5 & -1/5 \\ 0 & 1 & 1/5 & 6/5 \\ 0 & 0 & 1 & -11/8 \end{bmatrix}$

1行目に3行目の1/5倍を加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1/5 - 11/40 \\ 0 & 1 & 1/5 & 6/5 \\ 0 & 0 & 1 & -11/8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -19/40 \\ 0 & 1 & 1/5 & 6/5 \\ 0 & 0 & 1 & -11/8 \end{bmatrix}$

2行目から3行目の1/5倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -19/40 \\ 0 & 1 & 0 & 6/5 + 11/40 \\ 0 & 0 & 1 & -11/8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 59/40 \\ 0 & 1 & 0 & 59/40 \\ 0 & 0 & 1 & -11/8 \end{bmatrix}$

したがって、解は $x = -19/40$, $y = 59/40$, $z = -11/8$となります。

元の拡大係数行列は $\begin{bmatrix} 2 & -3 & -1 & -4 \\ 4 & -1 & -1 & -2 \\ 5 & 3 & 2 & -7 \end{bmatrix}$

簡約化された拡大係数行列は $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -19/40 \\ 0 & 1 & 0 & 59/40 \\ 0 & 0 & 1 & -11/8 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

拡大係数行列を簡約化した行列:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -19/40 \\ 0 & 1 & 0 & 59/40 \\ 0 & 0 & 1 & -11/8 \end{bmatrix}$

解：

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -19/40 \\ 59/40 \\ -11/8 \end{bmatrix}$

ツ = -19/40, テ = 59/40, ト = -11/8