関数 $f(x) = -x^2 + 6x - 4$ の定義域が $a \le x \le a+1$ であるときの最大値を $M(a)$ とする。$a$ の値によって $M(a)$ がどのように変化するかを求め、空欄を埋める問題です。

## 問題41

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 6x - 4$ の定義域が $a \le x \le a+1$ であるときの最大値を $M(a)$ とする。$a$ の値によって $M(a)$ がどのように変化するかを求め、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の平方完成を行います。

$f(x) = -(x^2 - 6x) - 4 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 4 = -(x-3)^2 + 9 - 4 = -(x-3)^2 + 5$

よって、軸は $x=3$ で、上に凸な放物線です。

次に、定義域 $a \le x \le a+1$ と軸 $x=3$ の位置関係によって場合分けを行います。

(i) $a+1 < 3$ つまり $a < 2$ のとき、定義域は軸より左側にあります。このとき、最大値は $x=a$ でとります。

$M(a) = f(a) = -a^2 + 6a - 4$

(ii) $a \le 3 \le a+1$ つまり $2 \le a \le 3$ のとき、定義域は軸を含みます。このとき、最大値は頂点の $y$ 座標、つまり $5$ になります。

$M(a) = 5$

(iii) $3 < a$ のとき、定義域は軸より右側にあります。このとき、最大値は $x = a+1$ でとります。

$M(a) = f(a+1) = -(a+1)^2 + 6(a+1) - 4 = -(a^2 + 2a + 1) + 6a + 6 - 4 = -a^2 + 4a + 1$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 6

ウ: 4

エ: 3

オ: 5

カ: 4

キ: 1