与えられた2つの2次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = -x^2 - 3x + 1$ (-2 ≤ x ≤ 1) (2) $y = -x^2 - x + 3$ (-2 < x ≤ 2)

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = -x^2 - 3x + 1$ (-2 ≤ x ≤ 1)

(2) $y = -x^2 - x + 3$ (-2 < x ≤ 2)

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 - 3x + 1$ (-2 ≤ x ≤ 1)

まず、平方完成を行います。

$y = -(x^2 + 3x) + 1$

$y = -(x^2 + 3x + (3/2)^2 - (3/2)^2) + 1$

$y = -(x + 3/2)^2 + (9/4) + 1$

$y = -(x + 3/2)^2 + 13/4$

頂点は$(-3/2, 13/4)$です。定義域は-2 ≤ x ≤ 1です。

$x = -2$のとき、$y = -(-2)^2 - 3(-2) + 1 = -4 + 6 + 1 = 3$

$x = 1$のとき、$y = -(1)^2 - 3(1) + 1 = -1 - 3 + 1 = -3$

頂点$x = -3/2$は定義域に含まれています。最大値は$13/4$。最小値は$-3$

(2) $y = -x^2 - x + 3$ (-2 < x ≤ 2)

まず、平方完成を行います。

$y = -(x^2 + x) + 3$

$y = -(x^2 + x + (1/2)^2 - (1/2)^2) + 3$

$y = -(x + 1/2)^2 + (1/4) + 3$

$y = -(x + 1/2)^2 + 13/4$

頂点は$(-1/2, 13/4)$です。定義域は-2 < x ≤ 2です。

$x = 2$のとき、$y = -(2)^2 - (2) + 3 = -4 - 2 + 3 = -3$

$x = -2$のとき、$y = -(-2)^2 - (-2) + 3 = -4 + 2 + 3 = 1$

ただし、$x = -2$は定義域に含まれないため、最小値は $-2$に限りなく近い値をとります。

頂点$x = -1/2$は定義域に含まれています。最大値は$13/4$。

最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $13/4$、最小値: $-3$

(2) 最大値: $13/4$、最小値: なし