多項式 $f(x)$ がすべての実数 $x$ について $f(x+1) - f(x) = 2x$ を満たし、$f(0) = 1$ であるとき、$f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $f(x)$ がすべての実数 $x$ について $f(x+1) - f(x) = 2x$ を満たし、$f(0) = 1$ であるとき、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ は多項式であるから、$f(x+1) - f(x)$ が $2x$ という 1 次式になることから、$f(x)$ は 2 次式であると予想できる。そこで、$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおいて、与えられた条件から係数 $a$, $b$, $c$ を決定する。

まず、$f(x+1) - f(x) = 2x$ に代入すると、

$a(x+1)^2 + b(x+1) + c - (ax^2 + bx + c) = 2x$

$a(x^2 + 2x + 1) + b(x+1) + c - ax^2 - bx - c = 2x$

$ax^2 + 2ax + a + bx + b + c - ax^2 - bx - c = 2x$

$2ax + a + b = 2x$

この式がすべての $x$ について成り立つためには、

$2a = 2$

$a + b = 0$

となる必要がある。

したがって、$a = 1$、$b = -1$ である。

次に、$f(0) = 1$ より、

$a(0)^2 + b(0) + c = 1$

$c = 1$

したがって、$c = 1$ である。

以上より、$a=1$, $b=-1$, $c=1$ なので、$f(x) = x^2 - x + 1$ である。

3. 最終的な答え

$f(x) = x^2 - x + 1$