関数 $y = x^2 - 2ax$ (ただし $0 \le x \le 1$) の最小値を、$a$ の範囲によって求めよ。具体的には、$a < \text{ア}$のとき、$\text{ア} \le a \le \text{ウ}$のとき、$\text{ウ} < a$ のときの最小値をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax$ (ただし $0 \le x \le 1$) の最小値を、$a$ の範囲によって求めよ。具体的には、$a < \text{ア}$のとき、$\text{ア} \le a \le \text{ウ}$のとき、$\text{ウ} < a$ のときの最小値をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax = (x - a)^2 - a^2$

これにより、この2次関数の軸は $x = a$ であることがわかります。定義域は $0 \le x \le 1$ なので、軸 $x=a$ の位置によって最小値がどこになるかが変わります。

(1) $a < 0$ のとき

軸 $x = a$ は定義域の左側にあるので、$x = 0$ のときに最小値をとります。

$y = 0^2 - 2a(0) = 0$

(2) $0 \le a \le 1$ のとき

軸 $x = a$ が定義域内にあるので、$x = a$ のときに最小値をとります。

$y = (a - a)^2 - a^2 = -a^2$ (これは問題文に与えられています)

(3) $1 < a$ のとき

軸 $x = a$ は定義域の右側にあるので、$x = 1$ のときに最小値をとります。

$y = 1^2 - 2a(1) = 1 - 2a = -2a + 1$

まとめると、

* $a < 0$ のとき、最小値は $0$

* $0 \le a \le 1$ のとき、最小値は $-a^2$

* $1 < a$ のとき、最小値は $-2a + 1$

したがって、$\text{ア}=0$, $\text{イ}=0$, $\text{ウ}=1$, $\text{エオ}=-2$, $\text{カ}=1$ となります。

3. 最終的な答え

ア：0

イ：0

ウ：1

エオ：-2

カ：1