$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 3x + 2}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 3x + 2}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$x \to 1$ のとき、分子 $x^3 - 1$ は $1^3 - 1 = 0$ に近づき、分母 $x^2 - 3x + 2$ は $1^2 - 3(1) + 2 = 0$ に近づくため、不定形 $\frac{0}{0}$ となります。

したがって、分子と分母を因数分解して約分することを試みます。

分子は因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いて、

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

と因数分解できます。

分母は

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

と因数分解できます。

したがって、

$\frac{x^3 - 1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x - 2)}$

となります。

$x \neq 1$ のとき、$x - 1 \neq 0$ なので、$x - 1$ で約分できます。

$\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{x^2 + x + 1}{x - 2}$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 3x + 2} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x - 2}$

となります。

ここで、$\frac{x^2 + x + 1}{x - 2}$ は $x = 1$ で連続なので、極限は代入で計算できます。

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x - 2} = \frac{1^2 + 1 + 1}{1 - 2} = \frac{3}{-1} = -3$

3. 最終的な答え

-3