関数 $y = \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x + 3 \cos^2 x$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x + 3 \cos^2 x$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を三角関数の公式を用いて変形します。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$

これらの公式を $y$ に代入すると、

$y = \frac{1 - \cos 2x}{2} + 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + 3 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cos 2x$

$y = 2 + \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x$

次に、$R \sin(2x + \alpha)$ の形に変形するために、三角関数の合成を行います。

$\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = R \sin(2x + \alpha)$ とおくと、

$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \alpha = \frac{1}{2}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{6}$

したがって、

$\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{6})$

$y = 2 + 2 \sin(2x + \frac{\pi}{6})$

$\sin$ の最大値は $1$、最小値は $-1$ であるため、

$-1 \leq \sin(2x + \frac{\pi}{6}) \leq 1$

$-2 \leq 2 \sin(2x + \frac{\pi}{6}) \leq 2$

$0 \leq 2 + 2 \sin(2x + \frac{\pi}{6}) \leq 4$

したがって、

$y$ の最大値は $4$、最小値は $0$ となります。

3. 最終的な答え

最大値: 4

最小値: 0