定積分 $\int_0^1 \left( \frac{x+1}{x^2+1} \right)^2 dx$ を計算します。ただし、$x = \tan \theta$ とおきます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 \left( \frac{x+1}{x^2+1} \right)^2 dx$ を計算します。ただし、$x = \tan \theta$ とおきます。

2. 解き方の手順

まず、$x = \tan \theta$ と置換するので、 $dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta = (1 + \tan^2 \theta) d\theta = (1 + x^2) d\theta$ となります。

積分区間も変化します。

$x = 0$ のとき、$\tan \theta = 0$ なので、$\theta = 0$。

$x = 1$ のとき、$\tan \theta = 1$ なので、$\theta = \frac{\pi}{4}$。

よって、

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\int_0^1 \left( \frac{x+1}{x^2+1} \right)^2 dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\tan \theta + 1}{\tan^2 \theta + 1} \right)^2 (1 + \tan^2 \theta) d\theta

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= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{(\tan \theta + 1)^2}{(\tan^2 \theta + 1)^2} (\tan^2 \theta + 1) d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{(\tan \theta + 1)^2}{\tan^2 \theta + 1} d\theta

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= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^2 \theta + 2\tan \theta + 1}{\tan^2 \theta + 1} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^2 \theta + 1 + 2\tan \theta}{\tan^2 \theta + 1} d\theta

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= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( 1 + \frac{2\tan \theta}{\tan^2 \theta + 1} \right) d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( 1 + \frac{2 \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1} \right) d\theta

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= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( 1 + \frac{2 \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}} \right) d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( 1 + \frac{2 \sin \theta}{\cos \theta} \cos^2 \theta \right) d\theta

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= \int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 + 2\sin \theta \cos \theta) d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 + \sin(2\theta)) d\theta

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= \left[ \theta - \frac{1}{2} \cos(2\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \cos(0) \right)

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= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} (0) - (0 - \frac{1}{2} (1)) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}

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3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$