次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。 $\int_{-1}^{x} f(t) dt = 6x^2 - 3ax - a$

## 問題23

1. 問題の内容

次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。

$\int_{-1}^{x} f(t) dt = 6x^2 - 3ax - a$

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式の両辺を $x$ で微分します。積分区間の上限が $x$ である定積分を微分すると、積分の中の関数に $x$ を代入したものが出てきます。

$\frac{d}{dx} \int_{-1}^{x} f(t) dt = \frac{d}{dx} (6x^2 - 3ax - a)$

$f(x) = 12x - 3a$

次に、与えられた等式に $x = -1$ を代入します。定積分の上端と下端が一致する場合、定積分の値は0になることを利用します。

$\int_{-1}^{-1} f(t) dt = 6(-1)^2 - 3a(-1) - a$

$0 = 6 + 3a - a$

$0 = 6 + 2a$

$2a = -6$

$a = -3$

得られた $a$ の値を $f(x) = 12x - 3a$ に代入して、$f(x)$ を求めます。

$f(x) = 12x - 3(-3)$

$f(x) = 12x + 9$

3. 最終的な答え

$f(x) = 12x + 9$

$a = -3$

## 問題24

1. 問題の内容

次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。

$\int_{a}^{x} f(t) dt = 3x^2 + 2x - 5$

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式の両辺を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = \frac{d}{dx} (3x^2 + 2x - 5)$

$f(x) = 6x + 2$

次に、与えられた等式に $x = a$ を代入します。

$\int_{a}^{a} f(t) dt = 3a^2 + 2a - 5$

$0 = 3a^2 + 2a - 5$

$0 = (3a + 5)(a - 1)$

$a = 1, -\frac{5}{3}$

それぞれの $a$ の値に対して条件が成立するか確認します。$f(t) = 6t+2$なので積分を実行して

$\int_{a}^{x} (6t+2) dt = [3t^2+2t]_a^x = 3x^2+2x - (3a^2+2a)$

これが、$3x^2 + 2x - 5$ に等しいので、$3a^2+2a=5$を満たす必要があります。

$a = 1$の時、$3(1)^2 + 2(1) = 3+2 = 5$なので条件を満たします。

$a = -\frac{5}{3}$の時、$3(-\frac{5}{3})^2 + 2(-\frac{5}{3}) = 3(\frac{25}{9}) - \frac{10}{3} = \frac{25}{3} - \frac{10}{3} = \frac{15}{3} = 5$なので条件を満たします。

3. 最終的な答え

$f(x) = 6x + 2$

$a = 1, -\frac{5}{3}$