$\int_{-1}^{x} f(t) dt = 6x^2 - 3ax - a$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求める問題です。

## 問題23

1. 問題の内容

$\int_{-1}^{x} f(t) dt = 6x^2 - 3ax - a$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺を $x$ で微分します。積分区間に $x$ が含まれている定積分を微分すると、積分の中の関数に $x$ を代入したものが出てきます。したがって、

$f(x) = 12x - 3a$

次に、与えられた式に $x = -1$ を代入します。すると、左辺の積分区間が $-1$ から $-1$ になるので、積分値は $0$ になります。

$0 = 6(-1)^2 - 3a(-1) - a$

$0 = 6 + 3a - a$

$0 = 6 + 2a$

$2a = -6$

$a = -3$

したがって、$f(x) = 12x - 3(-3) = 12x + 9$

3. 最終的な答え

$f(x) = 12x + 9$

$a = -3$

## 問題24

1. 問題の内容

$\int_{a}^{x} f(t) dt = 3x^2 + 2x - 5$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺を $x$ で微分します。積分区間に $x$ が含まれている定積分を微分すると、積分の中の関数に $x$ を代入したものが出てきます。したがって、

$f(x) = 6x + 2$

次に、与えられた式に $x = a$ を代入します。すると、左辺の積分区間が $a$ から $a$ になるので、積分値は $0$ になります。

$0 = 3a^2 + 2a - 5$

この二次方程式を解きます。

$(3a + 5)(a - 1) = 0$

$a = -\frac{5}{3}, 1$

3. 最終的な答え

$f(x) = 6x + 2$

$a = -\frac{5}{3}, 1$