次の4つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1}$ (2) $\lim_{n\to\infty} (3n^2 - 4n)$ (3) $\lim_{n\to\infty} \frac{2n^2+1}{n^2+n+1}$ (4) $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+3} - \sqrt{n+1})$

1. 問題の内容

次の4つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1}$

(2) $\lim_{n\to\infty} (3n^2 - 4n)$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{2n^2+1}{n^2+n+1}$

(4) $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+3} - \sqrt{n+1})$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1}$

分子と分母を$n$で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{n/n}{(2n+1)/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{n}}$

$n \to \infty$のとき$\frac{1}{n} \to 0$なので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{2+0} = \frac{1}{2}$

(2) $\lim_{n\to\infty} (3n^2 - 4n)$

$n^2$でくくります。

$\lim_{n\to\infty} n^2(3 - \frac{4}{n})$

$n \to \infty$のとき$\frac{4}{n} \to 0$なので、

$\lim_{n\to\infty} n^2(3 - \frac{4}{n}) = \lim_{n\to\infty} n^2(3 - 0) = \lim_{n\to\infty} 3n^2 = \infty$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{2n^2+1}{n^2+n+1}$

分子と分母を$n^2$で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{(2n^2+1)/n^2}{(n^2+n+1)/n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{2 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}$

$n \to \infty$のとき$\frac{1}{n} \to 0$、$\frac{1}{n^2} \to 0$なので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{2 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{2+0}{1+0+0} = \frac{2}{1} = 2$

(4) $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+3} - \sqrt{n+1})$

有理化します。

$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+3} - \sqrt{n+1}) \cdot \frac{\sqrt{n+3} + \sqrt{n+1}}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+3) - (n+1)}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n+1}}$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n+1}}$

$n \to \infty$のとき$\sqrt{n+3} \to \infty$、$\sqrt{n+1} \to \infty$なので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n+1}} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\infty$

(3) $2$

(4) $0$