次の定積分を計算します。 $\int_0^2 xe^{-x} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_0^2 xe^{-x} dx$

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って計算します。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u=x$ と $dv=e^{-x}dx$ とおくと、

$du = dx$、 $v = \int e^{-x} dx = -e^{-x}$ となります。

したがって、

$\int_0^2 xe^{-x} dx = \left[x(-e^{-x})\right]_0^2 - \int_0^2 (-e^{-x}) dx$

$= \left[-xe^{-x}\right]_0^2 + \int_0^2 e^{-x} dx$

$= \left[-xe^{-x}\right]_0^2 + \left[-e^{-x}\right]_0^2$

$= \left[-xe^{-x} - e^{-x}\right]_0^2$

$= \left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^2$

$= -(2+1)e^{-2} - \left[-(0+1)e^{-0}\right]$

$= -3e^{-2} + e^0$

$= -3e^{-2} + 1$

$= 1 - \frac{3}{e^2}$

3. 最終的な答え

$1 - \frac{3}{e^2}$