関数 $f(x) = \sin x (1 + \cos x)$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$) について、$f'(x) = (\cos x + 1)(\cos x - 2)$ であることが与えられています。 $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求め、その後、$0 \le x \le 2\pi$ における $f(x)$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin x (1 + \cos x)$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$) について、$f'(x) = (\cos x + 1)(\cos x - 2)$ であることが与えられています。

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求め、その後、$0 \le x \le 2\pi$ における $f(x)$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$f'(x) = (\cos x + 1)(\cos x - 2) = 0$ より、

$\cos x + 1 = 0$ または $\cos x - 2 = 0$

$\cos x = -1$ または $\cos x = 2$

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で $\cos x = -1$ を満たす $x$ は $x = \pi$ です。

$\cos x = 2$ を満たす $x$ は存在しません (なぜなら$-1 \le \cos x \le 1$ だからです)。

$f'(x) = (\cos x + 1)(\cos x - 2)$ の符号を調べます。$\cos x - 2$ は常に負なので、$\cos x + 1$ の符号を調べれば良いです。

$\cos x = -1$ となるのは $x = \pi$ のときのみなので、$x=\pi/3, 4\pi/3$を代入して傾きを調べます。

次に、与えられた$x = \frac{\pi}{3}$, $x = \frac{4\pi}{3}$と$x=\pi$における$f(x)$の値を求めます。

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき:

$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \left(1 + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$x = \pi$ のとき:

$f(\pi) = \sin(\pi) (1 + \cos(\pi)) = 0 \cdot (1 - 1) = 0$

$f'(x) = 0$ となる他の候補の$x$ですが, $x= \frac{4\pi}{3}$の場合:

$f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) \left(1 + \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \left(1 - \frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\frac{3\sqrt{3}}{4}$ が最大値の候補です。

$f'(x) = (\cos x + 1)(\cos x - 2)$ に $x = \pi/3$ を代入してみる。$\cos (\pi/3) = 1/2$ なので, $f'(\pi/3) = (3/2) (-3/2) < 0$. よって$x=\pi/3$では極大値をとります。

3. 最終的な答え

したがって、

$f'(x) = 0$ を満たす $x$ は $x = \frac{2\pi}{3}$ ではないので、$x = \frac{\pi}{3}, \pi$となります。

$x=\frac{2\pi}{3}$のとき、$\cos x + 1 = -1/2 + 1 = 1/2$ なので、$f'(2\pi/3) = (1/2)(-5/2) = -5/4 \neq 0$.

$f(x)$ の最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ である。

$\boxed{1}=1$

$\boxed{2}=2$

$\boxed{3}=3$

$\boxed{4}=2$

$\boxed{5}=3$

$\boxed{6}=3$

$\boxed{7}=3$

$\boxed{8}=4$