自然数 $n$ に対して、$2n^3 - 3n^2 + n$ が6の倍数であることを、数学的帰納法によって証明する。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$2n^3 - 3n^2 + n$ が6の倍数であることを、数学的帰納法によって証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき、$2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$ となり、0は6の倍数であるから、$n=1$ のとき成り立つ。

(2) $n=k$ のとき、$2k^3 - 3k^2 + k$ が6の倍数であると仮定する。すなわち、$2k^3 - 3k^2 + k = 6m$ （$m$は整数）と表せる。

(3) $n=k+1$ のとき、$2(k+1)^3 - 3(k+1)^2 + (k+1)$ が6の倍数であることを示す。

$2(k+1)^3 - 3(k+1)^2 + (k+1) = 2(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - 3(k^2 + 2k + 1) + (k+1)$

$= 2k^3 + 6k^2 + 6k + 2 - 3k^2 - 6k - 3 + k + 1$

$= 2k^3 + 3k^2 + k$

$= (2k^3 - 3k^2 + k) + 6k^2$

仮定より、$2k^3 - 3k^2 + k = 6m$ であるから、

$2(k+1)^3 - 3(k+1)^2 + (k+1) = 6m + 6k^2 = 6(m + k^2)$

$m+k^2$ は整数であるから、$6(m+k^2)$ は6の倍数である。したがって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(1), (2), (3) より、すべての自然数 $n$ に対して、$2n^3 - 3n^2 + n$ は6の倍数である。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$2n^3 - 3n^2 + n$ は6の倍数である。