以下の定積分を計算します。 $\int_{1}^{2} [x\log x - (\log t + 1)x + t]dx$

1. 問題の内容

以下の定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} [x\log x - (\log t + 1)x + t]dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を整理します。

$\int_{1}^{2} [x\log x - x\log t - x + t]dx$

次に、各項ごとに積分を行います。

$\int_{1}^{2} x\log x dx - \int_{1}^{2} x\log t dx - \int_{1}^{2} x dx + \int_{1}^{2} t dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{1}^{2} x\log x dx$:

部分積分を用います。$u = \log x, dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x}dx, v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x\log x dx = \frac{x^2}{2}\log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2}\log x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2}\log x - \frac{x^2}{4}$

したがって、$\int_{1}^{2} x\log x dx = [\frac{x^2}{2}\log x - \frac{x^2}{4}]_{1}^{2} = (2\log 2 - 1) - (0 - \frac{1}{4}) = 2\log 2 - \frac{3}{4}$

$\int_{1}^{2} x\log t dx$:

$\log t$ は定数なので、 $\log t \int_{1}^{2} x dx = \log t [\frac{x^2}{2}]_{1}^{2} = \log t (2 - \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}\log t$

$\int_{1}^{2} x dx$:

$\int_{1}^{2} x dx = [\frac{x^2}{2}]_{1}^{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$\int_{1}^{2} t dx$:

$t$ は定数なので、 $\int_{1}^{2} t dx = t[x]_{1}^{2} = t(2-1) = t$

これらの結果を代入します。

$2\log 2 - \frac{3}{4} - \frac{3}{2}\log t - \frac{3}{2} + t = 2\log 2 - \frac{9}{4} - \frac{3}{2}\log t + t$

3. 最終的な答え

$t+2\log(2)-\frac{3}{2}\log(t)-\frac{9}{4}$

または、$t + \log(4) - \log(t^{\frac{3}{2}}) - \frac{9}{4}$

または、$t + \log(\frac{4}{\sqrt{t^3}}) - \frac{9}{4}$