定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\cos x}$ を積分するために、まず、$\cos x$ を分母と分子に掛けます。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx$$

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ であることを利用します。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx$$

ここで、置換積分を行います。$u = \sin x$ とおくと、$du = \cos x dx$ となります。また、$x$ が $0$ から $\frac{\pi}{3}$ まで変化するとき、$u$ は $\sin 0 = 0$ から $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ まで変化します。したがって、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{1 - u^2} du$$

$\frac{1}{1 - u^2}$ を部分分数分解します。

$$\frac{1}{1 - u^2} = \frac{1}{(1 - u)(1 + u)} = \frac{A}{1 - u} + \frac{B}{1 + u}$$

$1 = A(1 + u) + B(1 - u)$ より、

$u = 1$ のとき $1 = 2A$, よって $A = \frac{1}{2}$.

$u = -1$ のとき $1 = 2B$, よって $B = \frac{1}{2}$.

したがって、

$$\frac{1}{1 - u^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u} \right)$$

積分を計算します。

$$\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{1 - u^2} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left( \frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u} \right) du = \frac{1}{2} \left[ -\ln|1 - u| + \ln|1 + u| \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \ln \left| \frac{1 + u}{1 - u} \right| \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \left( \ln \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} - \ln \frac{1 + 0}{1 - 0} \right) = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}$$

$$= \frac{1}{2} \ln \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1}{2} \ln \frac{(2 + \sqrt{3})^2}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{1}{2} \ln \frac{(2 + \sqrt{3})^2}{4 - 3} = \frac{1}{2} \ln (2 + \sqrt{3})^2 = \ln (2 + \sqrt{3})$$

3. 最終的な答え

$\ln(2 + \sqrt{3})$