与えられた極限を計算します。問題は以下の通りです。 $$ \lim_{\substack{v \to \infty \\ u \to -\infty}} \left\{ \sqrt{2} \left( \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{2}v}{3} \right) - \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{2}u}{3} \right) \right) \right\} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。問題は以下の通りです。

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\lim_{\substack{v \to \infty \\ u \to -\infty}} \left\{ \sqrt{2} \left( \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{2}v}{3} \right) - \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{2}u}{3} \right) \right) \right\}

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2. 解き方の手順

まず、それぞれの逆正接関数の極限を計算します。

$v \to \infty$のとき、$\frac{\sqrt{2}v}{3} \to \infty$です。したがって、

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\lim_{v \to \infty} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{2}v}{3} \right) = \frac{\pi}{2}

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次に、$u \to -\infty$のとき、$\frac{\sqrt{2}u}{3} \to -\infty$です。したがって、

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\lim_{u \to -\infty} \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{2}u}{3} \right) = -\frac{\pi}{2}

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したがって、与えられた極限は次のようになります。

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\lim_{\substack{v \to \infty \\ u \to -\infty}} \left\{ \sqrt{2} \left( \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{2}v}{3} \right) - \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{2}u}{3} \right) \right) \right\} = \sqrt{2} \left( \frac{\pi}{2} - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

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= \sqrt{2} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = \sqrt{2} \pi

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3. 最終的な答え

$\sqrt{2}\pi$