$\int \frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて積分を計算する。まず、被積分関数を次のように分解する。

$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} = \frac{A}{x^2+1} + \frac{B}{x^2+4}$

両辺に$(x^2+1)(x^2+4)$をかけると、

$1 = A(x^2+4) + B(x^2+1)$

$1 = (A+B)x^2 + (4A+B)$

この式が任意の$x$について成り立つためには、次の連立方程式を満たす必要がある。

$A+B = 0$

$4A+B = 1$

1番目の式から $B = -A$ である。これを2番目の式に代入すると、

$4A - A = 1$

$3A = 1$

$A = \frac{1}{3}$

$B = -\frac{1}{3}$

したがって、

$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} = \frac{1/3}{x^2+1} - \frac{1/3}{x^2+4}$

積分は次のようになる。

$\int \frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} dx = \int \left( \frac{1/3}{x^2+1} - \frac{1/3}{x^2+4} \right) dx$

$= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2+1} dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2+4} dx$

$= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2+1} dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2+2^2} dx$

$\int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan(x) + C_1$

$\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$より、

$\int \frac{1}{x^2+4} dx = \int \frac{1}{x^2+2^2} dx = \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C_2$

したがって、

$\int \frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} dx = \frac{1}{3} \arctan(x) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$

$= \frac{1}{3} \arctan(x) - \frac{1}{6} \arctan(\frac{x}{2}) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \arctan(x) - \frac{1}{6} \arctan(\frac{x}{2}) + C$