$f'(x) = e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot (-\frac{x^2}{2})' = e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot (-x) = -xe^{-\frac{x^2}{2}}$ $f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 0$ です。 $x < 0$ のとき $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。 $x > 0$ のとき $f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少します。

## 問題の回答

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1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

* **問題3:** 逆正弦関数 $\text{Sin}^{-1}$ の定義を述べよ。

* **問題4:** 次の関数 $f$ を微分せよ。

* (1) $f(x) = xe^{-x}$

* (2) $f(x) = \frac{\log x}{\tan x}$

* **問題5:** $\sin(x^2)$ の有限Maclaurin展開を6次まで求めよ。必要なら問題2(5)の結果を用いて良い。

* **問題6:** 関数 $f(x) = \exp(-\frac{x^2}{2})$ の増減、極値、凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描け。

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2. 解き方の手順

**問題3:**

逆正弦関数 $\text{Sin}^{-1} x$ (または $\arcsin x$) の定義は、以下の通りです。

$y = \text{Sin}^{-1} x$ は $x = \sin y$ かつ $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ を満たす $y$ である。

つまり、$\text{Sin}^{-1} x$ は、$\sin$ 関数の定義域を $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ に制限したときの逆関数です。

**問題4:**

(1) $f(x) = xe^{-x}$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$f'(x) = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})'$

$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x(-e^{-x})$

$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x}$

$f'(x) = e^{-x}(1 - x)$

(2) $f(x) = \frac{\log x}{\tan x}$ の微分

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$f'(x) = \frac{(\log x)' \tan x - (\log x) (\tan x)'}{(\tan x)^2}$

$\frac{d}{dx}\log x = \frac{1}{x}$ と $\frac{d}{dx}\tan x = \frac{1}{\cos^2 x}$ を用います。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \tan x - (\log x) \frac{1}{\cos^2 x}}{\tan^2 x}$

$f'(x) = \frac{\frac{\tan x}{x} - \frac{\log x}{\cos^2 x}}{\tan^2 x}$

$f'(x) = \frac{\tan x \cos^2 x - x \log x}{x\tan^2 x \cos^2 x}$

$f'(x) = \frac{\sin x \cos x - x \log x}{x \sin^2 x}$

**問題5:**

$\sin x$ のMaclaurin展開は以下の通りです。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

$\sin(x^2)$ を求めるために、$x$ を $x^2$ に置き換えます。

$\sin(x^2) = x^2 - \frac{(x^2)^3}{3!} + \frac{(x^2)^5}{5!} - \cdots$

$\sin(x^2) = x^2 - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^{10}}{5!} - \cdots$

6次までのMaclaurin展開を求めるので、6次までの項を取り出します。

$\sin(x^2) \approx x^2 - \frac{x^6}{6}$

**問題6:**

$f(x) = \exp(-\frac{x^2}{2}) = e^{-\frac{x^2}{2}}$

1. 増減を調べるために、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot (-\frac{x^2}{2})' = e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot (-x) = -xe^{-\frac{x^2}{2}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 0$ です。

$x < 0$ のとき $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

$x > 0$ のとき $f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少します。

2. 極値を調べます。

$x = 0$ で $f'(x)$ の符号が正から負に変わるので、$x = 0$ で極大値を取ります。

$f(0) = e^{-\frac{0^2}{2}} = e^0 = 1$

よって、極大値は $1$ です。極小値はありません。

3. 凹凸を調べるために、$f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = (-xe^{-\frac{x^2}{2}})' = -(x'e^{-\frac{x^2}{2}} + x(e^{-\frac{x^2}{2}})')$

$f''(x) = -(e^{-\frac{x^2}{2}} + x(-xe^{-\frac{x^2}{2}})) = -(e^{-\frac{x^2}{2}} - x^2e^{-\frac{x^2}{2}}) = (x^2 - 1)e^{-\frac{x^2}{2}}$

$f''(x) = 0$ となる $x$ は $x = \pm 1$ です。

$x < -1$ または $x > 1$ のとき $f''(x) > 0$ なので、下に凸です。

$-1 < x < 1$ のとき $f''(x) < 0$ なので、上に凸です。

4. 変曲点を調べます。

$x = \pm 1$ で $f''(x)$ の符号が変わるので、変曲点は $x = \pm 1$ です。

$f(1) = e^{-\frac{1}{2}}$、 $f(-1) = e^{-\frac{1}{2}}$なので、変曲点は $(1, e^{-\frac{1}{2}})$ と $(-1, e^{-\frac{1}{2}})$ です。

5. グラフの概形

* $x \to \pm \infty$ のとき $f(x) \to 0$

* $x = 0$ で極大値 $1$

* $x = \pm 1$ で変曲点

これらの情報をもとにグラフの概形を描くことができます。グラフはy軸対称で、ガウス関数（正規分布の確率密度関数）の形をしています。

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3. 最終的な答え

* **問題3:** $y = \text{Sin}^{-1} x$ は $x = \sin y$ かつ $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ を満たす $y$ である。

* **問題4:**

* (1) $f'(x) = e^{-x}(1 - x)$

* (2) $f'(x) = \frac{\sin x \cos x - x \log x}{x \sin^2 x}$

* **問題5:** $\sin(x^2) \approx x^2 - \frac{x^6}{6}$

* **問題6:**

* 増減: $x < 0$ で増加、$x > 0$ で減少

* 極値: $x = 0$ で極大値 $1$

* 凹凸: $x < -1$ または $x > 1$ で下に凸、$-1 < x < 1$ で上に凸

* 変曲点: $(1, e^{-\frac{1}{2}})$、 $(-1, e^{-\frac{1}{2}})$

* グラフの概形： y軸に関して対称で、ガウス関数の形。 $x \to \pm \infty$で 0 に漸近。